Theorem mpt0 5934

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4028	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 5933	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 5924	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 219	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-fun 5806  df-fn 5807

This theorem is referenced by:  oarec  7529  swrd00  13270  swrdlend  13283  repswswrd  13382  0rest  15913  grpinvfval  17283  psgnfval  17743  odfval  17775  gsumconst  18157  gsum2dlem2  18193  dprd0  18253  staffval  18670  asclfval  19155  mplcoe1  19286  mplcoe5  19289  coe1fzgsumd  19493  evl1gsumd  19542  gsumfsum  19632  pjfval  19869  mavmul0  20177  submafval  20204  mdetfval  20211  nfimdetndef  20214  mdetfval1  20215  mdet0pr  20217  madufval  20262  madugsum  20268  minmar1fval  20271  cramer0  20315  nmfval  22203  mdegfval  23626  gsumvsca1  29113  gsumvsca2  29114  esumnul  29437  esumrnmpt2  29457  sitg0  29735  mrsubfval  30659  msubfval  30675  elmsubrn  30679  mvhfval  30684  msrfval  30688  matunitlindflem1  32575  matunitlindf  32577  poimirlem28  32607  cncfiooicc  38780  itgvol0  38860  stoweidlem9  38902  sge0iunmptlemfi  39306  sge0isum  39320  lincval0  41998