MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt0 Structured version   Unicode version

Theorem mpt0 5641
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3887 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  _V
2 eqid 2452 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A )
32fnmpt 5640 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  A  e. 
_V  ->  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)
5 fn0 5633 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)  <->  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/) )
64, 5mpbi 208 1  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   (/)c0 3740    |-> cmpt 4453    Fn wfn 5516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-fun 5523  df-fn 5524
This theorem is referenced by:  fmptpr  6007  oarec  7106  swrd00  12427  swrdlend  12438  repswswrd  12535  0rest  14482  grpinvfval  15690  psgnfval  16120  odfval  16152  gsumconst  16544  gsum2dlem2  16579  gsum2dOLD  16581  dprd0  16645  staffval  17050  asclfval  17523  mplcoe1  17663  mplcoe5  17667  mplcoe2OLD  17669  evl1gsumd  17911  gsumfsum  17999  pjfval  18251  mavmul0  18485  submafval  18512  mdetfval  18519  nfimdetndef  18522  mdetfval1  18523  mdet0pr  18525  madufval  18570  madugsum  18576  minmar1fval  18579  cramer0  18623  nmfval  20308  mdegfval  21659  gsumvsca1  26391  gsumvsca2  26392  esumnul  26642  sitg0  26871  stoweidlem9  29947  coe1fzgsumd  30986  lincval0  31063
  Copyright terms: Public domain W3C validator