MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt0 Structured version   Unicode version

Theorem mpt0 5616
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3850 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  _V
2 eqid 2382 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A )
32fnmpt 5615 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  A  e. 
_V  ->  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)
5 fn0 5608 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)  <->  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/) )
64, 5mpbi 208 1  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034   (/)c0 3711    |-> cmpt 4425    Fn wfn 5491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-fun 5498  df-fn 5499
This theorem is referenced by:  oarec  7129  swrd00  12554  swrdlend  12567  repswswrd  12667  0rest  14837  grpinvfval  16205  psgnfval  16642  odfval  16674  gsumconst  17070  gsum2dlem2  17112  gsum2dOLD  17114  dprd0  17191  staffval  17609  asclfval  18096  mplcoe1  18240  mplcoe5  18244  mplcoe2OLD  18246  coe1fzgsumd  18457  evl1gsumd  18506  gsumfsum  18597  pjfval  18828  mavmul0  19139  submafval  19166  mdetfval  19173  nfimdetndef  19176  mdetfval1  19177  mdet0pr  19179  madufval  19224  madugsum  19230  minmar1fval  19233  cramer0  19277  nmfval  21194  mdegfval  22545  gsumvsca1  27927  gsumvsca2  27928  esumnul  28196  esumrnmpt2  28216  sitg0  28471  mrsubfval  29057  msubfval  29073  elmsubrn  29077  mvhfval  29082  msrfval  29086  cncfiooicc  31863  itgvol0  31933  stoweidlem9  31957  lincval0  33216
  Copyright terms: Public domain W3C validator