MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt0 Structured version   Unicode version

Theorem mpt0 5535
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3781 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  _V
2 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A )
32fnmpt 5534 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  A  e. 
_V  ->  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)
5 fn0 5527 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)  <->  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/) )
64, 5mpbi 208 1  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   (/)c0 3634    e. cmpt 4347    Fn wfn 5410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-fun 5417  df-fn 5418
This theorem is referenced by:  fmptpr  5900  oarec  6997  swrd00  12310  swrdlend  12321  repswswrd  12418  0rest  14364  grpinvfval  15569  psgnfval  15999  odfval  16029  gsumconst  16419  gsum2dlem2  16452  gsum2dOLD  16454  dprd0  16518  staffval  16912  asclfval  17383  mplcoe1  17534  mplcoe2  17537  mplcoe2OLD  17538  gsumfsum  17779  pjfval  18031  mavmul0  18263  submafval  18290  mdetfval  18297  nfimdetndef  18300  mdetfval1  18301  mdet0pr  18303  madufval  18343  madugsum  18349  minmar1fval  18352  cramer0  18396  nmfval  20081  mdegfval  21474  gsumvsca1  26170  gsumvsca2  26171  esumnul  26422  sitg0  26646  stoweidlem9  29713  lincval0  30773
  Copyright terms: Public domain W3C validator