MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt0 Structured version   Unicode version

Theorem mpt0 5708
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3932 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  _V
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A )
32fnmpt 5707 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  A  e. 
_V  ->  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)
5 fn0 5700 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)  <->  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/) )
64, 5mpbi 208 1  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785    |-> cmpt 4505    Fn wfn 5583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-fun 5590  df-fn 5591
This theorem is referenced by:  fmptpr  6086  oarec  7211  swrd00  12608  swrdlend  12619  repswswrd  12719  0rest  14685  grpinvfval  15898  psgnfval  16331  odfval  16363  gsumconst  16757  gsum2dlem2  16801  gsum2dOLD  16803  dprd0  16880  staffval  17296  asclfval  17782  mplcoe1  17926  mplcoe5  17930  mplcoe2OLD  17932  coe1fzgsumd  18143  evl1gsumd  18192  gsumfsum  18280  pjfval  18532  mavmul0  18849  submafval  18876  mdetfval  18883  nfimdetndef  18886  mdetfval1  18887  mdet0pr  18889  madufval  18934  madugsum  18940  minmar1fval  18943  cramer0  18987  nmfval  20872  mdegfval  22223  gsumvsca1  27464  gsumvsca2  27465  esumnul  27727  sitg0  27956  cncfiooicc  31261  itgvol0  31314  stoweidlem9  31337  lincval0  32115
  Copyright terms: Public domain W3C validator