MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mpt0 5710
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3876 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  _V
2 eqid 2453 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A )
32fnmpt 5709 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  A  e. 
_V  ->  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/) )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)
5 fn0 5700 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  A )  Fn  (/)  <->  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/) )
64, 5mpbi 212 1  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   (/)c0 3733    |-> cmpt 4464    Fn wfn 5580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-fun 5587  df-fn 5588
This theorem is referenced by:  oarec  7268  swrd00  12781  swrdlend  12794  repswswrd  12894  0rest  15340  grpinvfval  16716  psgnfval  17153  odfval  17191  odfvalOLD  17194  gsumconst  17579  gsum2dlem2  17615  dprd0  17676  staffval  18087  asclfval  18570  mplcoe1  18701  mplcoe5  18704  coe1fzgsumd  18908  evl1gsumd  18957  gsumfsum  19046  pjfval  19281  mavmul0  19589  submafval  19616  mdetfval  19623  nfimdetndef  19626  mdetfval1  19627  mdet0pr  19629  madufval  19674  madugsum  19680  minmar1fval  19683  cramer0  19727  nmfval  21615  mdegfval  23023  gsumvsca1  28557  gsumvsca2  28558  esumnul  28881  esumrnmpt2  28901  sitg0  29191  mrsubfval  30158  msubfval  30174  elmsubrn  30178  mvhfval  30183  msrfval  30187  poimirlem28  31980  cncfiooicc  37782  itgvol0  37855  stoweidlem9  37879  sge0iunmptlemfi  38265  sge0isum  38279  lincval0  40312
  Copyright terms: Public domain W3C validator