Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumfsum Structured version   Unicode version

Theorem gsumfsum 19033
 Description: Relate a group sum on ℂfld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumfsum.1
gsumfsum.2
Assertion
Ref Expression
gsumfsum fld g
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem gsumfsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4504 . . . . . . 7
2 mpt0 5723 . . . . . . 7
31, 2syl6eq 2479 . . . . . 6
43oveq2d 6321 . . . . 5 fld g fld g
5 cnfld0 18991 . . . . . . 7 fld
65gsum0 16520 . . . . . 6 fld g
7 sum0 13786 . . . . . 6
86, 7eqtr4i 2454 . . . . 5 fld g
94, 8syl6eq 2479 . . . 4 fld g
10 sumeq1 13754 . . . 4
119, 10eqtr4d 2466 . . 3 fld g
1211a1i 11 . 2 fld g
13 cnfldbas 18973 . . . . . . 7 fld
14 cnfldadd 18974 . . . . . . 7 fld
15 eqid 2422 . . . . . . 7 Cntzfld Cntzfld
16 cnring 18989 . . . . . . . 8 fld
17 ringmnd 17788 . . . . . . . 8 fld fld
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 fld
19 gsumfsum.1 . . . . . . . 8
2019adantr 466 . . . . . . 7
21 gsumfsum.2 . . . . . . . . 9
22 eqid 2422 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 6061 . . . . . . . 8
2423adantr 466 . . . . . . 7
25 ringcmn 17810 . . . . . . . . 9 fld fld CMnd
2616, 25mp1i 13 . . . . . . . 8 fld CMnd
2713, 15, 26, 24cntzcmnf 17482 . . . . . . 7 Cntzfld
28 simprl 762 . . . . . . 7
29 simprr 764 . . . . . . . 8
30 f1of1 5830 . . . . . . . 8
3129, 30syl 17 . . . . . . 7
32 suppssdm 6938 . . . . . . . . 9 supp
33 fdm 5750 . . . . . . . . . 10
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9
3532, 34syl5sseq 3512 . . . . . . . 8 supp
36 f1ofo 5838 . . . . . . . . 9
37 forn 5813 . . . . . . . . 9
3829, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8
3935, 38sseqtr4d 3501 . . . . . . 7 supp
40 eqid 2422 . . . . . . 7 supp supp
4113, 5, 14, 15, 18, 20, 24, 27, 28, 31, 39, 40gsumval3 17540 . . . . . 6 fld g
42 sumfc 13774 . . . . . . 7
43 fveq2 5881 . . . . . . . 8
4424ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
45 f1of 5831 . . . . . . . . . 10
4629, 45syl 17 . . . . . . . . 9
47 fvco3 5958 . . . . . . . . 9
4846, 47sylan 473 . . . . . . . 8
4943, 28, 29, 44, 48fsum 13785 . . . . . . 7
5042, 49syl5eqr 2477 . . . . . 6
5141, 50eqtr4d 2466 . . . . 5 fld g
5251expr 618 . . . 4 fld g
5352exlimdv 1772 . . 3 fld g
5453expimpd 606 . 2 fld g
55 fz1f1o 13775 . . 3
5619, 55syl 17 . 2
5712, 54, 56mpjaod 382 1 fld g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 369   wa 370   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872  c0 3761   cmpt 4482   cdm 4853   crn 4854   ccom 4857  wf 5597  wf1 5598  wfo 5599  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925  cfn 7580  cc 9544  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549  cn 10616  cfz 11791   cseq 12219  chash 12521  csu 13751   g cgsu 15338  cmnd 16534  Cntzccntz 16968  CMndccmn 17429  crg 17779  ℂfldccnfld 18969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-cnfld 18970 This theorem is referenced by:  regsumsupp  19188  plypf1  23164  taylpfval  23318  jensen  23912  amgmlem  23913  lgseisenlem4  24278  regsumfsum  28552  esumpfinval  28904  esumpfinvalf  28905  esumpcvgval  28907  esumcvg  28915  sge0tsms  38130  aacllem  40161
 Copyright terms: Public domain W3C validator