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Theorem clwlkisclwwlklem1 26315
 Description: Lemma for clwlkisclwwlk 26317. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem1 (((𝑉 USGrph 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝐹

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem1
StepHypRef Expression
1 usgraf1 25889 . . . 4 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)
2 f1f 6014 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
31, 2syl 17 . . 3 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
4 lencl 13179 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
6 fnfz0hash 13087 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃 Fn (0...(#‘𝐹))) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
74, 5, 6syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
8 ffz0iswrd 13187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 ∈ Word 𝑉)
9 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
109ad6antr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
11 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1211fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
1312ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
14 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
15 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
16 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1715, 16pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝐹) + 1) − 1) = (#‘𝐹))
1817eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
1918ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) = (((#‘𝐹) + 1) − 1))
2019fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)))
2120eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2221biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2314, 22syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2423adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0)))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (𝑃‘(((#‘𝐹) + 1) − 1)) = (𝑃‘0))
2610, 13, 253eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0))
27 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
30 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
3130lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹))
32 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)) ↔ (((#‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐹) − 1) ≤ (#‘𝐹)))
3329, 27, 31, 32syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)))
3433ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)))
35 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘((#‘𝐹) − 1)) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
36 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸)
40 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
42 fzossrbm1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4327, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
4544sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4641, 45ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
4746exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4840, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)))
5049imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5150ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐸)
5339, 52ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸)
54 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5554biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = (𝐸‘(𝐹𝑖)))
5655eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹𝑖)) ∈ ran 𝐸))
5753, 56syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5857ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5937, 58syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
6261impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
63 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
65 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 ∈ ℝ
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
67 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
6866, 67, 30lesubaddd 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 2 ≤ ((#‘𝐹) + 1)))
69 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 − 1) = 1
7069breq1i 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) ↔ 1 ≤ (#‘𝐹))
71 elnnnn0c 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)))
7271simplbi2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7370, 72syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7468, 73sylbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7764, 76sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
7877imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
80 lbfzo0 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
8179, 80sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
82 fzoend 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
84 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
8584fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
86 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)))
87 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 + 1) = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
8887fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)))
8986, 88preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))})
9085, 89eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ 𝑖 = ((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9283, 91rspcdv 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))}))
9315, 16npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
9493ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
9594fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
9695preq2d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
9796eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
9840ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
9974com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 ≤ ((#‘𝐹) + 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
10063, 99syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
101100com3r 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)))
103102imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
104103, 80sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
105104, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
10698, 105ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ dom 𝐸)
10838, 107ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸)
109 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
110109biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} = (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
111110eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸 ↔ (𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∈ ran 𝐸))
112108, 111syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
11397, 112sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
11492, 113syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
115114com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
117116impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸)
118 preq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))})
119118eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(#‘𝐹))} ∈ ran 𝐸))
122117, 121mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
12326, 62, 1223jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
124123exp41 636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1)) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
125124exp41 636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
127126com13 86 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))))
1284, 127mpcom 37 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))))
129128imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
1307, 129mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
131130expcom 450 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
132131com14 94 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))))
133132imp 444 . . . . . 6 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
134133com13 86 . . . . 5 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))))
135134imp 444 . . . 4 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
136135com12 32 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸⟶ran 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1373, 136sylan 487 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
1381373imp 1249 1 (((𝑉 USGrph 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-usgra 25862 This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem0  26316  clwlkfclwwlk  26371
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