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Theorem clwlkisclwwlklem1 30447
Description: Lemma for clwlkisclwwlk 30449. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i    i, V    i, F

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem1
StepHypRef Expression
1 usgraf1 23281 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
2 f1f 5605 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  E : dom  E --> ran  E )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E --> ran  E )
4 lencl 12248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  (
# `  F )  e.  NN0 )
5 ffn 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  Fn  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
6 fz0hash 12202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P  Fn  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )
8 ffz0iswrd 12254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  e. Word  V )
9 lsw 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
109ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
11 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1211fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( P `
 ( ( (
# `  F )  +  1 )  - 
1 ) ) )
1312ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) ) )
14 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  <->  ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 ) )
15 nn0cn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  CC )
16 ax-1cn 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1815, 17pncand 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  (
# `  F )
)
1918eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
2019ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  F )  +  1 )  - 
1 ) )
2120fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( P `  ( # `
 F ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 ) ) )
2221eqeq1d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
2322biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
2414, 23syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
2524adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( P `  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( P `  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) )
2710, 13, 263eqtrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )
28 nn0z 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
29 peano2zm 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ZZ )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ZZ )
31 nn0re 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
3231lem1d 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  <_  ( # `
 F ) )
33 eluz2 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  F )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  F
)  -  1 )  <_  ( # `  F
) ) )
3430, 28, 32, 33syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
3534ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )
36 fzoss2 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
37 ssralv 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  E : dom  E --> ran  E
)
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  E : dom  E --> ran  E
)
41 wrdf 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
42 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
43 fzossrbm1 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
4544sselda 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4642, 45ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
4746exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
4841, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E )
5340, 52ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  i ) )  e. 
ran  E )
54 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  <->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `
 i ) ) )
5554biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `
 i ) ) )
5655eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `
 i ) )  e.  ran  E ) )
5753, 56syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5857ralimdva 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5938, 58syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6059com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
63 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  <->  2  <_  (
( # `  F )  +  1 ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  <->  2  <_  ( ( # `
 F )  +  1 ) ) )
65 2re 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  2  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
67 1re 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  RR
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
6966, 68, 31lesubaddd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  <->  2  <_  (
( # `  F )  +  1 ) ) )
70 2m1e1 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7170breq1i 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  <->  1  <_  ( # `
 F ) )
72 elnnnn0c 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )
7372simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 1  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7471, 73syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7569, 74sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  <_  (
( # `  F )  +  1 )  -> 
( # `  F )  e.  NN ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7864, 77sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  e.  NN )
81 lbfzo0 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  <->  ( # `  F
)  e.  NN )
8280, 81sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
83 fzoend 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
85 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
8685fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( E `  ( F `  i
) )  =  ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
87 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
88 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) )
8988fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  F
)  -  1 )  +  1 ) ) )
9087, 89preq12d 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } )
9186, 90eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  =  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9384, 92rspcdv 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  =  {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9415, 17npcand 9722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  F )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  F )
)
9594ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  F
) )
9695fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  -  1 )  +  1 ) )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
9796preq2d 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
9897eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
9941ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
10075com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( 2  <_  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
10163, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) ) )
102101com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  =  ( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( # `  F )  e.  NN ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
106105, 81sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
107106, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
10899, 107ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  e. 
dom  E )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( F `  (
( # `  F )  -  1 ) )  e.  dom  E )
11039, 109ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( E `  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) )  e.  ran  E )
111 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  <->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) }  =  ( E `
 ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )
112111biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  ->  { ( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  =  ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
113112eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  ->  ( { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  e.  ran  E
) )
114110, 113syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
11598, 114sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
11693, 115syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
117116com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
119118impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E )
120 preq2 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
121120eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
122121adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
123122adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) }  e.  ran  E
) )
124119, 123mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )
12527, 62, 1243jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
126125exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
127126exp41 610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( F  e. Word  dom  E  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
1288, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
129128com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
1304, 129mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
131130imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  =  ( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1327, 131mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
133132expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F  e. Word  dom  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
134133com14 88 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
135134imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
136135com13 80 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
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 F ) ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
137136imp 429 . . . 4  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
138137com12 31 . . 3  |-  ( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
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1393, 138sylan 471 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
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1401393imp 1181 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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( lastS  `  P )  =  ( P `  0
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
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 0 ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   {cpr 3878   class class class wbr 4291   dom cdm 4839   ran crn 4840    Fn wfn 5412   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   2c2 10370   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436  ..^cfzo 11547   #chash 12102  Word cword 12220   lastS clsw 12221   USGrph cusg 23263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103  df-word 12228  df-lsw 12229  df-usgra 23265
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem0  30448  clwlkfclwwlk  30515
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