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Theorem clwlkisclwwlklem1 25515
Description: Lemma for clwlkisclwwlk 25517. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i    i, V    i, F

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem1
StepHypRef Expression
1 usgraf1 25087 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
2 f1f 5779 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  E : dom  E --> ran  E )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E --> ran  E )
4 lencl 12687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  (
# `  F )  e.  NN0 )
5 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  Fn  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
6 fz0hash 12613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P  Fn  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )
74, 5, 6syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )
8 ffz0iswrd 12694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  e. Word  V )
9 lsw 12711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
109ad6antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
11 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1211fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( P `
 ( ( (
# `  F )  +  1 )  - 
1 ) ) )
1312ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) ) )
14 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  <->  ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 ) )
15 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  CC )
16 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1715, 16pncand 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  (
# `  F )
)
1817eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1918ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  F )  +  1 )  - 
1 ) )
2019fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( P `  ( # `
 F ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 ) ) )
2120eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
2221biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
2314, 22syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
2423adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( P `  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) ) )
2524imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( P `  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) )
2610, 13, 253eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )
27 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
28 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ZZ )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ZZ )
30 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
3130lem1d 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  <_  ( # `
 F ) )
32 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  F )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  F
)  -  1 )  <_  ( # `  F
) ) )
3329, 27, 31, 32syl3anbrc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
3433ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )
35 fzoss2 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
36 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
38 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  E : dom  E --> ran  E
)
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  E : dom  E --> ran  E
)
40 wrdf 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
41 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
42 fzossrbm1 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4327, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4443adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
4544sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4641, 45ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
4746exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
4840, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
4948adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
5049imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
5150ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
5251imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E )
5339, 52ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  i ) )  e. 
ran  E )
54 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  <->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `
 i ) ) )
5554biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `
 i ) ) )
5655eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `
 i ) )  e.  ran  E ) )
5753, 56syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5857ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5937, 58syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
6261impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
63 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  <->  2  <_  (
( # `  F )  +  1 ) ) )
6463adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  <->  2  <_  ( ( # `
 F )  +  1 ) ) )
65 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  2  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
67 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
6866, 67, 30lesubaddd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  <->  2  <_  (
( # `  F )  +  1 ) ) )
69 2m1e1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7069breq1i 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  <->  1  <_  ( # `
 F ) )
71 elnnnn0c 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )
7271simplbi2 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 1  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7370, 72syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7468, 73sylbird 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7574adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  <_  (
( # `  F )  +  1 )  -> 
( # `  F )  e.  NN ) )
7675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7764, 76sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7877imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
7978adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  e.  NN )
80 lbfzo0 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  <->  ( # `  F
)  e.  NN )
8179, 80sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
82 fzoend 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
84 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
8584fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( E `  ( F `  i
) )  =  ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
86 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
87 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) )
8887fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  F
)  -  1 )  +  1 ) ) )
8986, 88preq12d 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } )
9085, 89eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9190adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  =  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9283, 91rspcdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  =  {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9315, 16npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  F )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  F )
)
9493ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  F
) )
9594fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  -  1 )  +  1 ) )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
9695preq2d 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
9796eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
9840ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
9974com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 2  <_  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
10063, 99syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) ) )
101100com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  =  ( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) ) )
102101adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( # `  F )  e.  NN ) ) )
103102imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
104103, 80sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
105104, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
10698, 105ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  e. 
dom  E )
107106adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( F `  (
( # `  F )  -  1 ) )  e.  dom  E )
10838, 107ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( E `  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) )  e.  ran  E )
109 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  <->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) }  =  ( E `
 ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )
110109biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  ->  { ( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  =  ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
111110eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  ->  ( { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  e.  ran  E
) )
112108, 111syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
11397, 112sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
11492, 113syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
115114com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
116115adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
117116impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E )
118 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
119118eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
120119adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
121120adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) }  e.  ran  E
) )
122117, 121mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )
12326, 62, 1223jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
124123exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
125124exp41 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( F  e. Word  dom  E  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
127126com13 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
1284, 127mpcom 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
129128imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  =  ( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1307, 129mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130expcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F  e. Word  dom  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
132131com14 91 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
133132imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
134133com13 83 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
135134imp 431 . . . 4  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
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 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
136135com12 32 . . 3  |-  ( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
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1373, 136sylan 474 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
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1381373imp 1202 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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( lastS  `  P )  =  ( P `  0
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   #chash 12515  Word cword 12656   lastS clsw 12657   USGrph cusg 25057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-lsw 12665  df-usgra 25060
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem0  25516  clwlkfclwwlk  25572
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