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Theorem clwlkisclwwlklem1 24765
Description: Lemma for clwlkisclwwlk 24767. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i    i, V    i, F

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem1
StepHypRef Expression
1 usgraf1 24338 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
2 f1f 5771 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  E : dom  E --> ran  E )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E --> ran  E )
4 lencl 12544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  (
# `  F )  e.  NN0 )
5 ffn 5721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  Fn  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
6 fz0hash 12481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  P  Fn  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )
8 ffz0iswrd 12550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  ->  P  e. Word  V )
9 lsw 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
109ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
11 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1211fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( P `
 ( ( (
# `  F )  +  1 )  - 
1 ) ) )
1312ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) ) )
14 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  <->  ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 ) )
15 nn0cn 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  CC )
16 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
1715, 16pncand 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 )  =  (
# `  F )
)
1817eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  =  ( ( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )
1918ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  =  ( ( (
# `  F )  +  1 )  - 
1 ) )
2019fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( P `  ( # `
 F ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 ) ) )
2120eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 )  <->  ( P `  ( ( ( # `  F )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P `
 0 ) ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P `  ( # `  F ) )  =  ( P `
 0 )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
2314, 22syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( P ` 
0 ) ) )
2423adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( P `  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) ) )
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( P `  ( (
( # `  F )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) )
2610, 13, 253eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )
27 nn0z 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
28 peano2zm 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ZZ )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ZZ )
30 nn0re 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
3130lem1d 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  <_  ( # `
 F ) )
32 eluz2 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  F )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  F
)  -  1 )  <_  ( # `  F
) ) )
3329, 27, 31, 32syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
3433ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )
35 fzoss2 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
36 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  E : dom  E --> ran  E
)
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  E : dom  E --> ran  E
)
40 wrdf 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
41 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
42 fzossrbm1 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4327, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )
4544sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
4641, 45ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  dom  E
)
4746exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
4840, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  i )  e.  dom  E )
5339, 52ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  i ) )  e. 
ran  E )
54 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  <->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `
 i ) ) )
5554biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  ( E `  ( F `
 i ) ) )
5655eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `
 i ) )  e.  ran  E ) )
5753, 56syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5857ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5937, 58syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
6059com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
63 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  <->  2  <_  (
( # `  F )  +  1 ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  <->  2  <_  ( ( # `
 F )  +  1 ) ) )
65 2re 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  2  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
67 1red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
6866, 67, 30lesubaddd 10156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  <->  2  <_  (
( # `  F )  +  1 ) ) )
69 2m1e1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 2  -  1 )  =  1
7069breq1i 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  <->  1  <_  ( # `
 F ) )
71 elnnnn0c 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  <->  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  F
) ) )
7271simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 1  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7370, 72syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
2  -  1 )  <_  ( # `  F
)  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7468, 73sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  <_  (
( # `  F )  +  1 )  -> 
( # `  F )  e.  NN ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7764, 76sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( # `  F )  e.  NN )
80 lbfzo0 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  <->  ( # `  F
)  e.  NN )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
82 fzoend 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
84 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
8584fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( E `  ( F `  i
) )  =  ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
86 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
87 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) )
8887fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  F
)  -  1 )  +  1 ) ) )
8986, 88preq12d 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } )
9085, 89eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  i  =  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  -> 
( ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9283, 91rspcdv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  =  {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) } ) )
9315, 16npcand 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  F )  -  1 )  +  1 )  =  (
# `  F )
)
9493ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  F
) )
9594fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( P `  (
( ( # `  F
)  -  1 )  +  1 ) )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
9695preq2d 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  =  { ( P `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
9796eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } ) )
9840ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
9974com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 2  <_  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) )
10063, 99syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) ) )
101100com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  =  ( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( # `  F
)  e.  NN ) ) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( # `  F )  e.  NN ) ) )
103102imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
104103, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
105104, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
10698, 105ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) )  e. 
dom  E )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( F `  (
( # `  F )  -  1 ) )  e.  dom  E )
10838, 107ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( E `  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) )  e.  ran  E )
109 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  <->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) }  =  ( E `
 ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )
110109biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  ->  { ( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  =  ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )
111110eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  ->  ( { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E  <->  ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  e.  ran  E
) )
112108, 111syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
11397, 112sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( ( E `  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )  =  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  F )  -  1 )  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
11492, 113syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E ) )
115114com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( (
( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  ->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
117116impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) }  e.  ran  E )
118 preq2 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P `  ( # `  F ) ) } )
119118eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 ( # `  F
) ) }  e.  ran  E ) )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  ( { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ,  ( P `  ( # `
 F ) ) }  e.  ran  E
) )
122117, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )
12326, 62, 1223jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E
)  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  /\  E : dom  E --> ran  E )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
124123exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( P  e. Word  V  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 ) )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
125124exp41 610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( F  e. Word  dom  E  -> 
( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
1268, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
127126com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
1284, 127mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  =  ( (
# `  F )  +  1 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( E : dom  E --> ran  E  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
129128imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  =  ( ( # `  F
)  +  1 )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1307, 129mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
131130expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F  e. Word  dom  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
132131com14 88 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> ran  E  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( 2  <_ 
( # `  P )  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
133132imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
134133com13 80 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
135134imp 429 . . . 4  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
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 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
136135com12 31 . . 3  |-  ( ( E : dom  E --> ran  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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1373, 136sylan 471 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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1381373imp 1191 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
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( lastS  `  P )  =  ( P `  0
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# `  F )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  F
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   {cpr 4016   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806   #chash 12387  Word cword 12516   lastS clsw 12517   USGrph cusg 24308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-lsw 12525  df-usgra 24311
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem0  24766  clwlkfclwwlk  24822
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