Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | atoml.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐴 ∈
Cℋ |
2 | | atelch 28587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈
Cℋ ) |
3 | | chjcl 27600 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
→ (𝐴
∨ℋ 𝐵)
∈ Cℋ ) |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 694 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈
Cℋ ) |
5 | 1 | choccli 27550 |
. . . . . . . 8
⊢
(⊥‘𝐴)
∈ Cℋ |
6 | | chincl 27742 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈
Cℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
→ ((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴))
∈ Cℋ ) |
7 | 4, 5, 6 | sylancl 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈
Cℋ ) |
8 | | hatomic 28603 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈
Cℋ ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ) →
∃𝑥 ∈ HAtoms
𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) |
9 | 7, 8 | sylan 487 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
→ ∃𝑥 ∈
HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) |
10 | | atelch 28587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈
Cℋ ) |
11 | | inss2 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴) |
12 | | sstr 3576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) |
13 | 11, 12 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) |
14 | 1 | pjococi 27680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴 |
15 | 14 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥) |
16 | 15 | ineq1i 3772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) |
17 | | incom 3767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) |
18 | 16, 17 | eqtr3i 2634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩
((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) |
19 | | pjoml3 27855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((⊥‘𝐴)
∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ (𝑥 ⊆
(⊥‘𝐴) →
((⊥‘𝐴) ∩
((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥)) |
20 | 5, 19 | mpan 702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈
Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥)) |
21 | 20 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ℋ 𝑥)) = 𝑥) |
22 | 18, 21 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥) |
23 | 10, 13, 22 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥) |
24 | 23 | ad2ant2lr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥) |
25 | | inss1 3795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) |
26 | | sstr 3576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
27 | 25, 26 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
28 | | chub1 27750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
→ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
29 | 1, 28 | mpan 702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐵 ∈
Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
30 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐵 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
31 | 1, 3 | mpan 702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐵 ∈
Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
) |
32 | | chlub 27752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ
∧ (𝐴
∨ℋ 𝐵)
∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
33 | 1, 32 | mp3an1 1403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
→ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
34 | 31, 33 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
→ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
35 | 34 | biimpd 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
→ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
36 | 35 | ancoms 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐵 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
37 | 30, 36 | mpand 707 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐵 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
38 | 2, 10, 37 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) |
39 | 38 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
40 | 27, 39 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
41 | 40 | adantrr 749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
42 | | chjcl 27600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ (𝐴
∨ℋ 𝑥)
∈ Cℋ ) |
43 | 1, 10, 42 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈
Cℋ ) |
44 | 2, 43 | anim12i 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ
)) |
45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐵 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ
)) |
46 | | chub1 27750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ )
→ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) |
47 | 1, 10, 46 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) |
48 | 47 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) |
49 | | pm3.22 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈
HAtoms)) |
50 | 49 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈
HAtoms)) |
51 | 27 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
52 | | incom 3767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴) |
53 | | chsh 27465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈
Cℋ → 𝑥 ∈ Sℋ
) |
54 | 1 | chshii 27468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝐴 ∈
Sℋ |
55 | | orthin 27689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈
Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ )
→ (𝑥 ⊆
(⊥‘𝐴) →
(𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ)) |
56 | 53, 54, 55 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈
Cℋ → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ)) |
57 | 56 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 0ℋ) |
58 | 52, 57 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) |
59 | 10, 13, 58 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) |
60 | 51, 59 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)) |
61 | 60 | ad2ant2lr 780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ)) |
62 | | atexch 28624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) |
63 | 1, 62 | mp3an1 1403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) |
64 | 50, 61, 63 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) |
65 | | chlub 27752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈
Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ
∧ (𝐴
∨ℋ 𝑥)
∈ Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) |
66 | 1, 65 | mp3an1 1403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐵 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
→ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) |
67 | 66 | biimpd 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
→ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) |
68 | 67 | expd 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈
Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
→ (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))) |
69 | 45, 48, 64, 68 | syl3c 64 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) |
70 | 41, 69 | eqssd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) |
71 | 70 | ineq1d 3775 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) |
72 | 24, 71 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → 𝑥 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) |
73 | 72 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈
HAtoms)) |
74 | 73 | exp43 638 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈
HAtoms))))) |
75 | 74 | com24 93 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ
→ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))))) |
76 | 75 | imp31 447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))) |
77 | 76 | ibd 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)) |
78 | 77 | ex 449 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
→ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))) |
79 | 78 | com23 84 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
→ (𝑥 ∈ HAtoms
→ (𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))) |
80 | 79 | rexlimdv 3012 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
→ (∃𝑥 ∈
HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)) |
81 | 9, 80 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ)
→ ((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴))
∈ HAtoms) |
82 | 81 | ex 449 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0ℋ
→ ((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴))
∈ HAtoms)) |
83 | 82 | necon1bd 2800 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬
((𝐴 ∨ℋ
𝐵) ∩
(⊥‘𝐴)) ∈
HAtoms → ((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴)) =
0ℋ)) |
84 | 83 | orrd 392 |
. 2
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) =
0ℋ)) |
85 | | elun 3715 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪
{0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈
{0ℋ})) |
86 | | fvex 6113 |
. . . . . 6
⊢
(⊥‘𝐴)
∈ V |
87 | 86 | inex2 4728 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V |
88 | 87 | elsn 4140 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}
↔ ((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴)) =
0ℋ) |
89 | 88 | orbi2i 540 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ})
↔ (((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴))
∈ HAtoms ∨ ((𝐴
∨ℋ 𝐵)
∩ (⊥‘𝐴)) =
0ℋ)) |
90 | 85, 89 | bitri 263 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪
{0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)) |
91 | 84, 90 | sylibr 223 |
1
⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪
{0ℋ})) |