HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atomli 28625
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atomli (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))

Proof of Theorem atomli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
2 atelch 28587 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
3 chjcl 27600 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐵) ∈ C )
41, 2, 3sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 𝐵) ∈ C )
51choccli 27550 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
6 chincl 27742 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
74, 5, 6sylancl 693 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C )
8 hatomic 28603 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ C ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
97, 8sylan 487 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
10 atelch 28587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
11 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)
12 sstr 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
1311, 12mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴))
141pjococi 27680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
1514oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
1615ineq1i 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴))
17 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
1816, 17eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥))
19 pjoml3 27855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊥‘𝐴) ∈ C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
205, 19mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥))
2120imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((⊥‘𝐴) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∨ 𝑥)) = 𝑥)
2218, 21syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2310, 13, 22syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
2423ad2ant2lr 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = 𝑥)
25 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)
26 sstr 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
28 chub1 27750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴C𝐵C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
291, 28mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵C𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))
311, 3mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵C → (𝐴 𝐵) ∈ C )
32 chlub 27752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
331, 32mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3431, 33sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3534biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝐵C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3635ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑥C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3730, 36mpand 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
382, 10, 37syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
3938imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4027, 39sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
4140adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
42 chjcl 27600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
431, 10, 42sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐴 𝑥) ∈ C )
442, 43anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ))
46 chub1 27750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
471, 10, 46sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
4847ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥))
49 pm3.22 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
5127adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
52 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑥) = (𝑥𝐴)
53 chsh 27465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥C𝑥S )
541chshii 27468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴S
55 orthin 27689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥S𝐴S ) → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5653, 54, 55sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴) = 0))
5756imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑥𝐴) = 0)
5852, 57syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥C𝑥 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑥) = 0)
5910, 13, 58syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝐴𝑥) = 0)
6051, 59jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
6160ad2ant2lr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0))
62 atexch 28624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
631, 62mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴𝑥) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)))
6450, 61, 63sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥))
65 chlub 27752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴C𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
661, 65mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) ↔ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6766biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥)))
6867expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝑥) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))))
6945, 48, 64, 68syl3c 64 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 𝑥))
7041, 69eqssd 3585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝐵))
7170ineq1d 3775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → ((𝐴 𝑥) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7224, 71eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → 𝑥 = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
7372eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0)) → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7473exp43 638 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7574com24 93 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))))
7675imp31 447 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7776ibd 257 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
7877ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
7978com23 84 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)))
8079rexlimdv 3012 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
819, 80mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
8281ex 449 . . . 4 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ≠ 0 → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
8382necon1bd 2800 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
8483orrd 392 . 2 (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
85 elun 3715 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}))
86 fvex 6113 . . . . . 6 (⊥‘𝐴) ∈ V
8786inex2 4728 . . . . 5 ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ V
8887elsn 4140 . . . 4 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0} ↔ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
8988orbi2i 540 . . 3 ((((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9085, 89bitri 263 . 2 (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}) ↔ (((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0))
9184, 90sylibr 223 1 (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cun 3538  cin 3539  wss 3540  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549   S csh 27169   C cch 27170  cort 27171   chj 27174  0c0h 27176  HAtomscat 27206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-span 27552  df-chj 27553  df-chsup 27554  df-pjh 27638  df-cv 28522  df-at 28581
This theorem is referenced by:  atoml2i  28626
  Copyright terms: Public domain W3C validator