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Theorem atomli 23838
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition 3.2.17 of [PtakPulmannova] p. 66. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atomli  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )

Proof of Theorem atomli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
2 atelch 23800 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
3 chjcl 22812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( A  vH  B )  e.  CH )
51choccli 22762 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
6 chincl 22954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  vH  B
)  e.  CH  /\  ( _|_ `  A )  e.  CH )  -> 
( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  CH )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  CH )
8 hatomic 23816 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  CH  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
97, 8sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
10 atelch 23800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
11 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  A )
12 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( _|_ `  A ) )  ->  x  C_  ( _|_ `  A ) )
1311, 12mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  x  C_  ( _|_ `  A
) )
141pjococi 22892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
1514oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  =  ( A  vH  x )
1615ineq1i 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( A  vH  x
)  i^i  ( _|_ `  A ) )
17 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )
1816, 17eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )
19 pjoml3 23067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( ( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x ) )
205, 19mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  ( _|_ `  A )  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x ) )
2120imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  vH  x
) )  =  x )
2218, 21syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( A  vH  x
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  x )
2310, 13, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  x )
2423ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  x )
25 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  C_  ( A  vH  B )
26 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  C_  ( A  vH  B ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
2725, 26mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  x  C_  ( A  vH  B
) )
28 chub1 22962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
291, 28mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  CH  ->  A  C_  ( A  vH  B
) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
311, 3mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  e.  CH  ->  ( A  vH  B )  e. 
CH )
32 chlub 22964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
331, 32mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
3431, 33sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
3534biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3635ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3730, 36mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B )  -> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) ) )
382, 10, 37syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) ) )
3938imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) )
4027, 39sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  vH  x )  C_  ( A  vH  B ) )
4140adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  x
)  C_  ( A  vH  B ) )
42 chjcl 22812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  vH  x
)  e.  CH )
431, 10, 42sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( A  vH  x )  e.  CH )
442, 43anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x )  e. 
CH ) )
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )
)
46 chub1 22962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
471, 10, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e. HAtoms  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
4847ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  A  C_  ( A  vH  x ) )
49 pm3.22 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )
)
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms ) )
5127adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  x  C_  ( A  vH  B ) )
52 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  i^i  x )  =  ( x  i^i  A
)
53 chsh 22680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  SH )
541chshii 22683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  e.  SH
55 orthin 22901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  C_  ( _|_ `  A )  -> 
( x  i^i  A
)  =  0H ) )
5653, 54, 55sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  C_  ( _|_ `  A )  ->  (
x  i^i  A )  =  0H ) )
5756imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  i^i  A )  =  0H )
5852, 57syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  CH  /\  x  C_  ( _|_ `  A
) )  ->  ( A  i^i  x )  =  0H )
5910, 13, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  i^i  x )  =  0H )
6051, 59jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  C_  ( A  vH  B
)  /\  ( A  i^i  x )  =  0H ) )
6160ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x
)  =  0H ) )
62 atexch 23837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x )  =  0H )  ->  B  C_  ( A  vH  x
) ) )
631, 62mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  i^i  x )  =  0H )  ->  B  C_  ( A  vH  x
) ) )
6450, 61, 63sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  B  C_  ( A  vH  x ) )
65 chlub 22964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  ( A  vH  x )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  x )  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  <->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  x ) ) )
661, 65mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  x
)  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) ) )
6766biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( ( A  C_  ( A  vH  x
)  /\  B  C_  ( A  vH  x ) )  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  x ) ) )
6867exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( A  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( A  C_  ( A  vH  x )  -> 
( B  C_  ( A  vH  x )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) ) ) )
6945, 48, 64, 68syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  B
)  C_  ( A  vH  x ) )
7041, 69eqssd 3325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( A  vH  x
)  =  ( A  vH  B ) )
7170ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( ( A  vH  x )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
7224, 71eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  ->  x  =  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) ) )
7372eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H ) )  -> 
( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
7473exp43 596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( x  C_  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  -> 
( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) ) ) )
7574com24 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( x  C_  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  -> 
( x  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) ) ) )
7675imp31 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( x  e. HAtoms  <->  ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
) ) )
7776ibd 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  /\  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
7877ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
) )
7978com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
x  e. HAtoms  ->  ( x 
C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
) ) )
8079rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
819, 80mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =/= 
0H )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
)
8281ex 424 . . . 4  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =/=  0H  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms ) )
8382necon1bd 2635 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( -.  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
8483orrd 368 . 2  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
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85 elun 3448 . . 3  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  { 0H }
) )
86 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  A )  e.  _V
8786inex2 4305 . . . . 5  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  _V
8887elsnc 3797 . . . 4  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ 0H }  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H )
8988orbi2i 506 . . 3  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
9085, 89bitri 241 . 2  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
9184, 90sylibr 204 1  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   SHcsh 22384   CHcch 22385   _|_cort 22386    vH chj 22389   0Hc0h 22391  HAtomscat 22421
This theorem is referenced by:  atoml2i  23839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-span 22764  df-chj 22765  df-chsup 22766  df-pjh 22850  df-cv 23735  df-at 23794
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