Theorem chsh 27465

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 27463	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑𝑚 ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   “ cima 5041  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℕcn 10897   ⇝_𝑣 chli 27168   S_ℋ csh 27169   C_ℋ cch 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-ch 27462

This theorem is referenced by:  chsssh  27466  chshii  27468  ch0  27469  chss  27470  choccl  27549  chjval  27595  chjcl  27600  pjhth  27636  pjhtheu  27637  pjpreeq  27641  pjpjpre  27662  ch0le  27684  chle0  27686  chslej  27741  chjcom  27749  chub1  27750  chlub  27752  chlej1  27753  chlej2  27754  spansnsh  27804  fh1  27861  fh2  27862  chscllem1  27880  chscllem2  27881  chscllem3  27882  chscllem4  27883  chscl  27884  pjorthi  27912  pjoi0  27960  hstoc  28465  hstnmoc  28466  ch1dle  28595  atomli  28625  chirredlem3  28635  sumdmdii  28658