Theorem ch0le 27684

Description: The zero subspace is the smallest member of C_ℋ. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ch0le	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem ch0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 27465	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		sh0le 27683	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   S_ℋ csh 27169   C_ℋ cch 27170  0_ℋc0h 27176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-hilex 27240

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-sh 27448  df-ch 27462  df-ch0 27494

This theorem is referenced by:  chnlen0  27687  ch0pss  27688  ch0lei  27694  chssoc  27739  atcveq0  28591