Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbl 39551
 Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbl.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑦 ∈ V)
3 reex 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 vonvolmbl.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5ssexd 4733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 snfi 7923 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝐴} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
98elexd 3187 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
102, 6, 9inmap 38396 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
1110eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
1211fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
13 vonvolmbl.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
142, 6, 13difmapsn 38399 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
1514eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
1615fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
1712, 16oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
1817ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
19 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ V)
213a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
22 elpwi 4117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
23 mapss 7786 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2421, 22, 23syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2520, 24elpwd 38264 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
27 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
28 ineq1 3769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
2928fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
30 difeq1 3683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
3130fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
3229, 31oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
33 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3432, 33eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴}))))
3534rspcva 3280 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3626, 27, 35syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3736adantll 746 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
38 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3918, 37, 383eqtrd 2648 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
4039eqcomd 2616 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))))
4113adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴𝑉)
4222adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
4341, 42ovnovol 39549 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4443adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4542ssinss1d 38239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4641, 45ovnovol 39549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4742ssdifssd 3710 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4841, 47ovnovol 39549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4946, 48oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5049adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5140, 44, 503eqtr3d 2652 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5251ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5352ex 449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
5413ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐴𝑉)
555ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
56 simplr 788 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
57 elpwi 4117 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
5857adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
59 rneq 5272 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
6059cbviunv 4495 . . . . . 6 𝑔𝑥 ran 𝑔 = 𝑓𝑥 ran 𝑓
6154, 55, 56, 58, 60vonvolmbllem 39550 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6261ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6362ex 449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
6453, 63impbid 201 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
65 mapss 7786 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
664, 5, 65syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
678isvonmbl 39528 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
6866, 67mpbirand 529 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
69 ismbl4 38886 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
7069a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))))
715, 70mpbirand 529 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
7264, 68, 713bitr4d 299 1 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ ciun 4455  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814   +𝑒 cxad 11820  vol*covol 23038  volcvol 23039  voln*covoln 39426  volncvoln 39428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429 This theorem is referenced by:  vonvol  39552  vonvolmbl2  39553  vonvol2  39554
 Copyright terms: Public domain W3C validator