Theorem vonvolmbl 39551

Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbl	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
3		reex 9906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		vonvolmbl.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
6	4, 5	ssexd 4733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		snfi 7923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
9	8	elexd 3187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
10	2, 6, 9	inmap 38396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
11	10	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
12	11	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
13		vonvolmbl.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2, 6, 13	difmapsn 38399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
15	14	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
16	15	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
17	12, 16	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
18	17	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
19		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ V)
21	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
22		elpwi 4117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
23		mapss 7786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
24	21, 22, 23	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
25	20, 24	elpwd 38264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
27		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
28		ineq1 3769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
29	28	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
30		difeq1 3683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
31	30	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
32	29, 31	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
33		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
34	32, 33	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴}))))
35	34	rspcva 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
36	26, 27, 35	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
37	36	adantll 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
38		eqidd 2611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
39	18, 37, 38	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
40	39	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))))
41	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
42	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
43	41, 42	ovnovol 39549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
44	43	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
45	42	ssinss1d 38239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
46	41, 45	ovnovol 39549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)))
47	42	ssdifssd 3710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
48	41, 47	ovnovol 39549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))
49	46, 48	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
50	49	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
51	40, 44, 50	3eqtr3d 2652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
52	51	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
53	52	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
54	13	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑉)
55	5	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
56		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
57		elpwi 4117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
58	57	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
59		rneq 5272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
60	59	cbviunv 4495	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑥 ran 𝑔 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑥 ran 𝑓
61	54, 55, 56, 58, 60	vonvolmbllem 39550	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
62	61	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
63	62	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
64	53, 63	impbid 201	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
65		mapss 7786	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
66	4, 5, 65	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
67	8	isvonmbl 39528	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
68	66, 67	mpbirand 529	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
69		ismbl4 38886	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
70	69	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))))
71	5, 70	mpbirand 529	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
72	64, 68, 71	3bitr4d 299	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ ciun 4455  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814   +_𝑒 cxad 11820  vol*covol 23038  volcvol 23039  voln*covoln 39426  volncvoln 39428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429

This theorem is referenced by:  vonvol  39552  vonvolmbl2  39553  vonvol2  39554