Theorem vonvolmbllem 39550

Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
vonvolmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbllem	⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbllem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4		vonvolmbllem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 38403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}))
6	5	ineq1d 3775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
7		reex 9906	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
9	3	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10		elmapi 7765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12		frn 5966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14	13	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15		iunss 4497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	14, 15	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
17	4, 16	syl5eqss 3612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
18	8, 17	ssexd 4733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
19		vonvolmbllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
20	8, 19	ssexd 4733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
21		snex 4835	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
23	18, 20, 22	inmap 38396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
24	6, 23	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
25	24	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
26	17	ssinss1d 38239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
27	2, 26	ovnovol 39549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
29	5	difeq1d 3689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
30	18, 20, 2	difmapsn 38399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
31	29, 30	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
32	31	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
33	17	ssdifssd 3710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
34	2, 33	ovnovol 39549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
35	32, 34	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
36	28, 35	oveq12d 6567	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
37	5	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})))
38	2, 17	ovnovol 39549	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
39	18, 17	elpwd 38264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
40		vonvolmbllem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
41		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
42		ineq1 3769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∩ 𝐵) = (𝑌 ∩ 𝐵))
43	42	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
44		difeq1 3683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∖ 𝐵) = (𝑌 ∖ 𝐵))
45	44	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
46	43, 45	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
47	41, 46	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))))
48	47	rspcva 3280	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
49	39, 40, 48	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
50	37, 38, 49	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
51	36, 50	eqtr4d 2647	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ ciun 4455  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℝcr 9814   +_𝑒 cxad 11820  vol*covol 23038  voln*covoln 39426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ovoln 39427

This theorem is referenced by:  vonvolmbl  39551