Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 39550
 Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbllem.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
vonvolmbllem.x (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑓𝑌
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 38403 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑌𝑚 {𝐴}))
65ineq1d 3775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
7 reex 9906 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
93sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12 frn 5966 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1413ralrimiva 2949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15 iunss 4497 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
174, 16syl5eqss 3612 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
188, 17ssexd 4733 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
19 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
208, 19ssexd 4733 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
21 snex 4835 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
2318, 20, 22inmap 38396 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
246, 23eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
2524fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
2617ssinss1d 38239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
272, 26ovnovol 39549 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
2825, 27eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
295difeq1d 3689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
3018, 20, 2difmapsn 38399 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3129, 30eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3231fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
3317ssdifssd 3710 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
342, 33ovnovol 39549 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3532, 34eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3628, 35oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
375fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})))
382, 17ovnovol 39549 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
3918, 17elpwd 38264 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
40 vonvolmbllem.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
41 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
42 ineq1 3769 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4342fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
44 difeq1 3683 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4544fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
4643, 45oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4741, 46eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵)))))
4847rspcva 3280 . . . 4 ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4939, 40, 48syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5037, 38, 493eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5136, 50eqtr4d 2647 1 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ ciun 4455  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  ℝcr 9814   +𝑒 cxad 11820  vol*covol 23038  voln*covoln 39426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ovoln 39427 This theorem is referenced by:  vonvolmbl  39551
 Copyright terms: Public domain W3C validator