Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvonmbl 39528
 Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥 ∩ 𝐴 and 𝑥 ∖ 𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isvonmbl.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
isvonmbl (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl
StepHypRef Expression
1 isvonmbl.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21dmvon 39496 . . 3 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
32eleq2d 2673 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
41ovnome 39463 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5 eqid 2610 . . 3 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
64, 5caragenel 39385 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7 elpwi 4117 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
91unidmovn 39503 . . . . . . 7 (𝜑 dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
118, 10sseqtrd 3604 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1211ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
13 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
149eqcomd 2616 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1613, 15sseqtrd 3604 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
17 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ V
1817ssex 4730 . . . . . . . 8 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19 elpwg 4116 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2216, 21mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋))
2322ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)))
2412, 23impbid 201 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
259pweqd 4113 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
26 raleq 3115 . . . 4 (𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2824, 27anbi12d 743 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
293, 6, 283bitrd 293 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814   +𝑒 cxad 11820  CaraGenccaragen 39381  voln*covoln 39426  volncvoln 39428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429 This theorem is referenced by:  vonvolmbl  39551
 Copyright terms: Public domain W3C validator