Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem46 38939
 Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1 𝑡𝑈
stoweidlem46.2 𝑄
stoweidlem46.3 𝑞𝜑
stoweidlem46.4 𝑡𝜑
stoweidlem46.5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem46.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem46.9 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem46.15 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem46.16 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem46.17 (𝜑𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,,𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8 𝑞𝜑
2 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑞 𝑠 ∈ (𝑇𝑈)
31, 2nfan 1816 . . . . . . 7 𝑞(𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
5 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑇
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
75, 6nfdif 3693 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑇𝑈)
87nfel2 2767 . . . . . . . 8 𝑡 𝑠 ∈ (𝑇𝑈)
94, 8nfan 1816 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7 𝑄
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7 𝑇 = 𝐽
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
19183adant1r 1311 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21203adant1r 1311 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2524adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐽)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑈𝐽)
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑈)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑍𝑈)
30 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 38936 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑠)))
32 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑔(𝑄 ∧ 0 < (𝑠))
3310nfel2 2767 . . . . . . . 8 𝑔𝑄
34 nfv 1830 . . . . . . . 8 0 < (𝑔𝑠)
3533, 34nfan 1816 . . . . . . 7 (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))
36 eleq1 2676 . . . . . . . 8 ( = 𝑔 → (𝑄𝑔𝑄))
37 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 ( = 𝑔 → (𝑠) = (𝑔𝑠))
3837breq2d 4595 . . . . . . . 8 ( = 𝑔 → (0 < (𝑠) ↔ 0 < (𝑔𝑠)))
3936, 38anbi12d 743 . . . . . . 7 ( = 𝑔 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑠)) ↔ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))))
4032, 35, 39cbvex 2260 . . . . . 6 (∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
4131, 40sylib 207 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃𝑔(𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
43 rabexg 4739 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
4544ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
46 eldifi 3694 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑠𝑇)
4746ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑠𝑇)
48 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 0 < (𝑔𝑠))
49 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑠))
5049breq2d 4595 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔𝑡) ↔ 0 < (𝑔𝑠)))
5150elrab 3331 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ↔ (𝑠𝑇 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
5247, 48, 51sylanbrc 695 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
53 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝜑)
5416adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔𝑄)
5655, 12syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
57 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑔 → (𝑍) = (𝑔𝑍))
5857eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑔 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝑔𝑍) = 0))
59 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑔 → (𝑡) = (𝑔𝑡))
6059breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑔 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔𝑡)))
6159breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑔 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔𝑡) ≤ 1))
6260, 61anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑔 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1)))
6362ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑔 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1)))
6458, 63anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑔 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6564elrab 3331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔𝐴 ∧ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6656, 65sylib 207 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝑄) → (𝑔𝐴 ∧ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6766simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔𝐴)
6854, 67sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6968ad2ant2r 779 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑡0
71 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑔
72 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
734, 72nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
75 0xr 9965 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 38201 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽)
7953, 69, 78syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽)
80 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑄) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
81 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
82 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑔
8359breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑔 → (0 < (𝑡) ↔ 0 < (𝑔𝑡)))
8483rabbidv 3164 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑔 → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
8584eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑔 → ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}))
8681, 82, 10, 85rspcegf 38205 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑄 ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
8755, 80, 86syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝑄) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
8887ad2ant2r 779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
89 eqeq1 2614 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9089rexbidv 3034 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9190elrab 3331 . . . . . . . 8 ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ↔ ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9279, 88, 91sylanbrc 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}})
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9492, 93syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)
95 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑤{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
96 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
97 nfrab1 3099 . . . . . . . . . . 11 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9893, 97nfcxfr 2749 . . . . . . . . . 10 𝑤𝑊
9998nfel2 2767 . . . . . . . . 9 𝑤{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊
10096, 99nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑤(𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)
101 eleq2 2677 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑠𝑤𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}))
102 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑤𝑊 ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊))
103101, 102anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → ((𝑠𝑤𝑤𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)))
10495, 100, 103spcegf 3262 . . . . . . 7 ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊)))
105104imp 444 . . . . . 6 (({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
10645, 52, 94, 105syl12anc 1316 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
10741, 106exlimddv 1850 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
108 nfcv 2751 . . . . 5 𝑤𝑠
109108, 98elunif 38198 . . . 4 (𝑠 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
110107, 109sylibr 223 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑠 𝑊)
111110ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑠 𝑊))
112111ssrdv 3574 1 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  topGenctg 15921   Cn ccn 20838  Compccmp 20999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  stoweidlem50  38943
 Copyright terms: Public domain W3C validator