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Theorem stoweidlem46 31573
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1  |-  F/_ t U
stoweidlem46.2  |-  F/_ h Q
stoweidlem46.3  |-  F/ q
ph
stoweidlem46.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem46.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem46.6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem46.7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem46.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem46.9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem46.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem46.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem46.14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem46.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem46.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem46.17  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, T    f, q,
g, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, t    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g    w, g, h, t, T    g, W    A, q, r    Z, q, x    U, r    ph, r    t, J, w    t, K    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w)    Q( x, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8  |-  F/ q
ph
2 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ q  s  e.  ( T 
\  U )
31, 2nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ q ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
5 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t T
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
75, 6nfdif 3625 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( T  \  U
)
87nfel2 2647 . . . . . . . 8  |-  F/ t  s  e.  ( T 
\  U )
94, 8nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7  |-  T  = 
U. J
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  J  e.  Comp )
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1716adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
19183adant1r 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
21203adant1r 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
2322adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
2524adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  U  e.  J )
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  Z  e.  U )
30 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  ( T  \  U ) )
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 31570 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) ) )
32 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ g ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )
3310nfel2 2647 . . . . . . . 8  |-  F/ h  g  e.  Q
34 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ h
0  <  ( g `  s )
3533, 34nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ h
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) )
36 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
h  e.  Q  <->  g  e.  Q ) )
37 fveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  s )  =  ( g `  s ) )
3837breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  s )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
3936, 38anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )  <-> 
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) ) )
4032, 35, 39cbvex 1995 . . . . . 6  |-  ( E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  s
) )  <->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
4131, 40sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
43 rabexg 4597 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  _V  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V )
4544ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  _V )
46 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  T )
4746ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  T
)
48 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  0  <  (
g `  s )
)
49 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
g `  t )  =  ( g `  s ) )
5049breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
0  <  ( g `  t )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
5150elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  <->  ( s  e.  T  /\  0  <  ( g `  s
) ) )
5247, 48, 51sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } )
53 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ph )
5416adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  Q )
5655, 12syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
57 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  Z )  =  ( g `  Z ) )
5857eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
g `  Z )  =  0 ) )
59 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
6059breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
6159breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
6260, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
6362ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
6458, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) ) )
6564elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
6656, 65sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
6766simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  A )
6854, 67sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
6968ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K ) )
70 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
0
71 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
g
72 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  g  e.  ( J  Cn  K )
734, 72nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )
74 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
75 0xr 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  0  e.  RR* )
77 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 31199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  J )
7953, 69, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  J
)
80 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
81 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
82 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
g
8359breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( g `  t ) ) )
8483rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
8584eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
8681, 82, 10, 85rspcegf 31203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
8755, 80, 86syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
8887ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } )
89 eqeq1 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9089rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9190elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  <->  ( {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  J  /\  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9279, 88, 91sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  {
w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9492, 93syl6eleqr 2566 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
)
95 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
96 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
97 nfrab1 3042 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9893, 97nfcxfr 2627 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w W
9998nfel2 2647 . . . . . . . . 9  |-  F/ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  W
10096, 99nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )
101 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
s  e.  w  <->  s  e.  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
102 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  e.  W  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  e.  W
) )
103101, 102anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
( s  e.  w  /\  w  e.  W
)  <->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
10495, 100, 103spcegf 3194 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  ->  ( ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  /\  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) ) )
105104imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V  /\  (
s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W ) )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  W ) )
10645, 52, 94, 105syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  W ) )
10741, 106exlimddv 1702 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
108 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ w
s
109108, 98elunif 31196 . . . 4  |-  ( s  e.  U. W  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
110107, 109sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  U. W )
111110ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  U. W ) )
112111ssrdv 3510 1  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   (,)cioo 11530   topGenctg 14696    Cn ccn 19531   Compccmp 19692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652
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