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Theorem stoweidlem46 37476
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1  |-  F/_ t U
stoweidlem46.2  |-  F/_ h Q
stoweidlem46.3  |-  F/ q
ph
stoweidlem46.4  |-  F/ t
ph
stoweidlem46.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem46.6  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
stoweidlem46.7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
stoweidlem46.8  |-  T  = 
U. J
stoweidlem46.9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem46.10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem46.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem46.13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem46.14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem46.15  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
stoweidlem46.16  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
stoweidlem46.17  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Distinct variable groups:    f, g, h, t, T    f, q,
g, t, T    f,
r, q, t, T   
x, f, q, t, T    A, f, g, h, t    Q, f, g    U, f, g, q    f, Z, g, h, t    ph, f,
g    w, g, h, t, T    g, W    A, q, r    Z, q, x    U, r    ph, r    t, J, w    t, K    w, Q    x, A    x, U    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( w, t, h, q)    A( w)    Q( x, t, h, r, q)    U( w, t, h)    J( x, f, g, h, r, q)    K( x, w, f, g, h, r, q)    W( x, w, t, f, h, r, q)    Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8  |-  F/ q
ph
2 nfv 1754 . . . . . . . 8  |-  F/ q  s  e.  ( T 
\  U )
31, 2nfan 1986 . . . . . . 7  |-  F/ q ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
5 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t T
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t U
75, 6nfdif 3592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( T  \  U
)
87nfel2 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ t  s  e.  ( T 
\  U )
94, 8nfan 1986 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7  |-  F/_ h Q
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7  |-  T  = 
U. J
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1514adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  J  e.  Comp )
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
1716adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  A  C_  ( J  Cn  K ) )
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
19183adant1r 1257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
21203adant1r 1257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A )
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
2322adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
t  e.  T  |->  x )  e.  A )
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
2524adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2726adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  U  e.  J )
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
2928adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  Z  e.  U )
30 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  ( T  \  U ) )
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 37473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. h
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) ) )
32 nfv 1754 . . . . . . 7  |-  F/ g ( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )
3310nfel2 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ h  g  e.  Q
34 nfv 1754 . . . . . . . 8  |-  F/ h
0  <  ( g `  s )
3533, 34nfan 1986 . . . . . . 7  |-  F/ h
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) )
36 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
h  e.  Q  <->  g  e.  Q ) )
37 fveq1 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  s )  =  ( g `  s ) )
3837breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  s )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
3936, 38anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( h  =  g  ->  (
( h  e.  Q  /\  0  <  ( h `
 s ) )  <-> 
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) ) )
4032, 35, 39cbvex 2078 . . . . . 6  |-  ( E. h ( h  e.  Q  /\  0  < 
( h `  s
) )  <->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
4131, 40sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. g
( g  e.  Q  /\  0  <  ( g `
 s ) ) )
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
43 rabexg 4575 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  _V  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  _V )
4442, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V )
4544ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  _V )
46 eldifi 3593 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  T )
4746ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  T
)
48 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  0  <  (
g `  s )
)
49 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
g `  t )  =  ( g `  s ) )
5049breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  s  ->  (
0  <  ( g `  t )  <->  0  <  ( g `  s ) ) )
5150elrab 3235 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  <->  ( s  e.  T  /\  0  <  ( g `  s
) ) )
5247, 48, 51sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } )
53 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  ph )
5416adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  A  C_  ( J  Cn  K
) )
55 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  Q )
5655, 12syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `
 Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) } )
57 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  Z )  =  ( g `  Z ) )
5857eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  Z
)  =  0  <->  (
g `  Z )  =  0 ) )
59 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  g  ->  (
h `  t )  =  ( g `  t ) )
6059breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <_  ( h `  t )  <->  0  <_  ( g `  t ) ) )
6159breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  g  ->  (
( h `  t
)  <_  1  <->  ( g `  t )  <_  1
) )
6260, 61anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  g  ->  (
( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
6362ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  ( A. t  e.  T  ( 0  <_  (
h `  t )  /\  ( h `  t
)  <_  1 )  <->  A. t  e.  T  ( 0  <_  (
g `  t )  /\  ( g `  t
)  <_  1 ) ) )
6458, 63anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( h `  t
)  /\  ( h `  t )  <_  1
) )  <->  ( (
g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( g `  t )  /\  (
g `  t )  <_  1 ) ) ) )
6564elrab 3235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { h  e.  A  |  ( ( h `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  (
0  <_  ( h `  t )  /\  (
h `  t )  <_  1 ) ) }  <-> 
( g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
6656, 65sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  (
g  e.  A  /\  ( ( g `  Z )  =  0  /\  A. t  e.  T  ( 0  <_ 
( g `  t
)  /\  ( g `  t )  <_  1
) ) ) )
6766simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  A )
6854, 67sseldd 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
6968ad2ant2r 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K ) )
70 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
0
71 nfcv 2591 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
g
72 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  g  e.  ( J  Cn  K )
734, 72nfan 1986 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )
74 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
75 0xr 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  0  e.  RR* )
77 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  g  e.  ( J  Cn  K
) )
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 36980 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  e.  J )
7953, 69, 78syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  J
)
80 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
81 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
82 nfcv 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
g
8359breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  g  ->  (
0  <  ( h `  t )  <->  0  <  ( g `  t ) ) )
8483rabbidv 3079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  g  ->  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )
8584eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  g  ->  ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
8681, 82, 10, 85rspcegf 36984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  Q  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) } )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
8755, 80, 86syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  Q )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } )
8887ad2ant2r 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } )
89 eqeq1 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t ) }  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9089rexbidv 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  ( E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) }  <->  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9190elrab 3235 . . . . . . . 8  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }  <->  ( {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  J  /\  E. h  e.  Q  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  =  {
t  e.  T  | 
0  <  ( h `  t ) } ) )
9279, 88, 91sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  {
w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } } )
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7  |-  W  =  { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9492, 93syl6eleqr 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
g  e.  Q  /\  0  <  ( g `  s ) ) )  ->  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
)
95 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }
96 nfv 1754 . . . . . . . . 9  |-  F/ w  s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }
97 nfrab1 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ w { w  e.  J  |  E. h  e.  Q  w  =  { t  e.  T  |  0  <  ( h `  t
) } }
9893, 97nfcxfr 2589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ w W
9998nfel2 2609 . . . . . . . . 9  |-  F/ w { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  W
10096, 99nfan 1986 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( s  e.  {
t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W )
101 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
s  e.  w  <->  s  e.  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) } ) )
102 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
w  e.  W  <->  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t
) }  e.  W
) )
103101, 102anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  ->  (
( s  e.  w  /\  w  e.  W
)  <->  ( s  e. 
{ t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  /\  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
) }  e.  W
) ) )
10495, 100, 103spcegf 3168 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  _V  ->  ( ( s  e.  { t  e.  T  |  0  < 
( g `  t
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t  e.  T  | 
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( s  e.  w  /\  w  e.  W
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105104imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( { t  e.  T  |  0  <  (
g `  t ) }  e.  _V  /\  (
s  e.  { t  e.  T  |  0  <  ( g `  t ) }  /\  { t  e.  T  | 
0  <  ( g `  t ) }  e.  W ) )  ->  E. w ( s  e.  w  /\  w  e.  W ) )
10645, 52, 94, 105syl12anc 1262 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( T  \  U
) )  /\  (
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10741, 106exlimddv 1773 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
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108 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ w
s
109108, 98elunif 36977 . . . 4  |-  ( s  e.  U. W  <->  E. w
( s  e.  w  /\  w  e.  W
) )
110107, 109sylibr 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( T  \  U ) )  ->  s  e.  U. W )
111110ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( T  \  U )  ->  s  e.  U. W ) )
112111ssrdv 3476 1  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  U. W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659   F/wnf 1663    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   (,)cioo 11635   topGenctg 15295    Cn ccn 20171   Compccmp 20332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268
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