Theorem stoweidlem46 37901

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	|- F/_ t U
stoweidlem46.2	|- F/_ h Q
stoweidlem46.3	|- F/ q ph
stoweidlem46.4	|- F/ t ph
stoweidlem46.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem46.6	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem46.7	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem46.8	|- T = U. J
stoweidlem46.9	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem46.10	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem46.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem46.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem46.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem46.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem46.17	|- ( ph -> T e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, q, t, T   x, f, q, t, T   A, f, g, h, t   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g   w, g, h, t, T   g, W   A, q, r   Z, q, x   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   A( w)   Q( x, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 |- F/ q ph
2		nfv 1760	. . . . . . . 8 |- F/ q s e. ( T \ U )
3	1, 2	nfan 2010	. . . . . . 7 |- F/ q ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
5		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t T
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t U
7	5, 6	nfdif 3553	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( T \ U )
8	7	nfel2 2607	. . . . . . . 8 |- F/ t s e. ( T \ U )
9	4, 8	nfan 2010	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 |- F/_ h Q
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 |- T = U. J
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
15	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> J e. Comp )
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
17	16	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	18	3adant1r 1260	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	20	3adant1r 1260	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
23	22	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
25	24	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
27	26	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> U e. J )
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. U )
29	28	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> Z e. U )
30		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. ( T \ U ) )
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 37898	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) )
32		nfv 1760	. . . . . . 7 |- F/ g ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) )
33	10	nfel2 2607	. . . . . . . 8 |- F/ h g e. Q
34		nfv 1760	. . . . . . . 8 |- F/ h 0 < ( g ` s )
35	33, 34	nfan 2010	. . . . . . 7 |- F/ h ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) )
36		eleq1 2516	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( h e. Q <-> g e. Q ) )
37		fveq1 5862	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( h ` s ) = ( g ` s ) )
38	37	breq2d 4413	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` s ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
39	36, 38	anbi12d 716	. . . . . . 7 |- ( h = g -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) )
40	32, 35, 39	cbvex 2114	. . . . . 6 |- ( E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
41	31, 40	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. _V )
43		rabexg 4552	. . . . . . . 8 |- ( T e. _V -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
45	44	ad2antrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
46		eldifi 3554	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( T \ U ) -> s e. T )
47	46	ad2antlr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. T )
48		simprr 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> 0 < ( g ` s ) )
49		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( g ` t ) = ( g ` s ) )
50	49	breq2d 4413	. . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( 0 < ( g ` t ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
51	50	elrab 3195	. . . . . . 7 |- ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } <-> ( s e. T /\ 0 < ( g ` s ) ) )
52	47, 48, 51	sylanbrc 669	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
53		simpll 759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> ph )
54	16	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> A C_ ( J Cn K ) )
55		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. Q )
56	55, 12	syl6eleq 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
57		fveq1 5862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( h ` Z ) = ( g ` Z ) )
58	57	eqeq1d 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( g ` Z ) = 0 ) )
59		fveq1 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
60	59	breq2d 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
61	59	breq1d 4411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
62	60, 61	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
63	62	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
64	58, 63	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
65	64	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
66	56, 65	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
67	66	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. A )
68	54, 67	sseldd 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. ( J Cn K ) )
69	68	ad2ant2r 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
70		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t 0
71		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t g
72		nfv 1760	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t g e. ( J Cn K )
73	4, 72	nfan 2010	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ g e. ( J Cn K ) )
74		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
75		0xr 9684	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> 0 e. RR* )
77		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 37334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
79	53, 69, 78	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
80		eqidd 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
81		nfv 1760	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
82		nfcv 2591	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h g
83	59	breq2d 4413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( g ` t ) ) )
84	83	rabbidv 3035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
85	84	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 37338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. Q /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
87	55, 80, 86	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
88	87	ad2ant2r 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
89		eqeq1 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
90	89	rexbidv 2900	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
91	90	elrab 3195	. . . . . . . 8 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J /\ E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
92	79, 88, 91	sylanbrc 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
94	92, 93	syl6eleqr 2539	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
95		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
96		nfv 1760	. . . . . . . . 9 |- F/ w s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
97		nfrab1 2970	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ w { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
98	93, 97	nfcxfr 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ w W
99	98	nfel2 2607	. . . . . . . . 9 |- F/ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W
100	96, 99	nfan 2010	. . . . . . . 8 |- F/ w ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
101		eleq2 2517	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( s e. w <-> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
102		eleq1 2516	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w e. W <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) )
103	101, 102	anbi12d 716	. . . . . . . 8 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( ( s e. w /\ w e. W ) <-> ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) )
104	95, 100, 103	spcegf 3129	. . . . . . 7 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V -> ( ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) ) )
105	104	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V /\ ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
107	41, 106	exlimddv 1780	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
108		nfcv 2591	. . . . 5 |- F/_ w s
109	108, 98	elunif 37331	. . . 4 |- ( s e. U. W <-> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
110	107, 109	sylibr 216	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. U. W )
111	110	ex 436	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( T \ U ) -> s e. U. W ) )
112	111	ssrdv 3437	1 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   F/wnf 1666   e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   C_ wss 3403   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   (,)cioo 11632   topGenctg 15329   Cn ccn 20233   Compccmp 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  37905