Theorem stoweidlem46 37476

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	|- F/_ t U
stoweidlem46.2	|- F/_ h Q
stoweidlem46.3	|- F/ q ph
stoweidlem46.4	|- F/ t ph
stoweidlem46.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem46.6	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem46.7	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem46.8	|- T = U. J
stoweidlem46.9	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem46.10	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem46.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem46.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem46.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem46.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem46.17	|- ( ph -> T e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, q, t, T   x, f, q, t, T   A, f, g, h, t   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g   w, g, h, t, T   g, W   A, q, r   Z, q, x   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   A( w)   Q( x, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 |- F/ q ph
2		nfv 1754	. . . . . . . 8 |- F/ q s e. ( T \ U )
3	1, 2	nfan 1986	. . . . . . 7 |- F/ q ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
5		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t T
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t U
7	5, 6	nfdif 3592	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( T \ U )
8	7	nfel2 2609	. . . . . . . 8 |- F/ t s e. ( T \ U )
9	4, 8	nfan 1986	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 |- F/_ h Q
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 |- T = U. J
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
15	14	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> J e. Comp )
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
17	16	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	18	3adant1r 1257	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	20	3adant1r 1257	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
23	22	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
25	24	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
27	26	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> U e. J )
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. U )
29	28	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> Z e. U )
30		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. ( T \ U ) )
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 37473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) )
32		nfv 1754	. . . . . . 7 |- F/ g ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) )
33	10	nfel2 2609	. . . . . . . 8 |- F/ h g e. Q
34		nfv 1754	. . . . . . . 8 |- F/ h 0 < ( g ` s )
35	33, 34	nfan 1986	. . . . . . 7 |- F/ h ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) )
36		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( h e. Q <-> g e. Q ) )
37		fveq1 5880	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( h ` s ) = ( g ` s ) )
38	37	breq2d 4438	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` s ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
39	36, 38	anbi12d 715	. . . . . . 7 |- ( h = g -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) )
40	32, 35, 39	cbvex 2078	. . . . . 6 |- ( E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
41	31, 40	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. _V )
43		rabexg 4575	. . . . . . . 8 |- ( T e. _V -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
45	44	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
46		eldifi 3593	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( T \ U ) -> s e. T )
47	46	ad2antlr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. T )
48		simprr 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> 0 < ( g ` s ) )
49		fveq2 5881	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( g ` t ) = ( g ` s ) )
50	49	breq2d 4438	. . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( 0 < ( g ` t ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
51	50	elrab 3235	. . . . . . 7 |- ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } <-> ( s e. T /\ 0 < ( g ` s ) ) )
52	47, 48, 51	sylanbrc 668	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
53		simpll 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> ph )
54	16	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> A C_ ( J Cn K ) )
55		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. Q )
56	55, 12	syl6eleq 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
57		fveq1 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( h ` Z ) = ( g ` Z ) )
58	57	eqeq1d 2431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( g ` Z ) = 0 ) )
59		fveq1 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
60	59	breq2d 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
61	59	breq1d 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
62	60, 61	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
63	62	ralbidv 2871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
64	58, 63	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
65	64	elrab 3235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
66	56, 65	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
67	66	simpld 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. A )
68	54, 67	sseldd 3471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. ( J Cn K ) )
69	68	ad2ant2r 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
70		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t 0
71		nfcv 2591	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t g
72		nfv 1754	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t g e. ( J Cn K )
73	4, 72	nfan 1986	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ g e. ( J Cn K ) )
74		eqid 2429	. . . . . . . . . 10 |- { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
75		0xr 9686	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> 0 e. RR* )
77		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 36980	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
79	53, 69, 78	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
80		eqidd 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
81		nfv 1754	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
82		nfcv 2591	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h g
83	59	breq2d 4438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( g ` t ) ) )
84	83	rabbidv 3079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
85	84	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 36984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. Q /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
87	55, 80, 86	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
88	87	ad2ant2r 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
89		eqeq1 2433	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
90	89	rexbidv 2946	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
91	90	elrab 3235	. . . . . . . 8 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J /\ E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
92	79, 88, 91	sylanbrc 668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
94	92, 93	syl6eleqr 2528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
95		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
96		nfv 1754	. . . . . . . . 9 |- F/ w s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
97		nfrab1 3016	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ w { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
98	93, 97	nfcxfr 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ w W
99	98	nfel2 2609	. . . . . . . . 9 |- F/ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W
100	96, 99	nfan 1986	. . . . . . . 8 |- F/ w ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
101		eleq2 2502	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( s e. w <-> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
102		eleq1 2501	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w e. W <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) )
103	101, 102	anbi12d 715	. . . . . . . 8 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( ( s e. w /\ w e. W ) <-> ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) )
104	95, 100, 103	spcegf 3168	. . . . . . 7 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V -> ( ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) ) )
105	104	imp 430	. . . . . 6 |- ( ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V /\ ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 1262	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
107	41, 106	exlimddv 1773	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
108		nfcv 2591	. . . . 5 |- F/_ w s
109	108, 98	elunif 36977	. . . 4 |- ( s e. U. W <-> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
110	107, 109	sylibr 215	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. U. W )
111	110	ex 435	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( T \ U ) -> s e. U. W ) )
112	111	ssrdv 3476	1 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   F/wnf 1663   e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   C_ wss 3442   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   (,)cioo 11635   topGenctg 15295   Cn ccn 20171   Compccmp 20332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268

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