Theorem stoweidlem46 27662

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	|- F/_ t U
stoweidlem46.2	|- F/_ h Q
stoweidlem46.3	|- F/ q ph
stoweidlem46.4	|- F/ t ph
stoweidlem46.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem46.6	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem46.7	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem46.8	|- T = U. J
stoweidlem46.9	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem46.10	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem46.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem46.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem46.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem46.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem46.17	|- ( ph -> T e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, q, t, T   x, f, q, t, T   A, f, g, h, t   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g   w, g, h, t, T   g, W   A, q, r   Z, q, x   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   A( w)   Q( x, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 |- F/ q ph
2		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ q s e. ( T \ U )
3	1, 2	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ q ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
5		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t T
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t U
7	5, 6	nfdif 3428	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( T \ U )
8	7	nfel2 2552	. . . . . . . 8 |- F/ t s e. ( T \ U )
9	4, 8	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 |- F/_ h Q
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 |- T = U. J
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
15	14	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> J e. Comp )
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
17	16	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	18	3adant1r 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	20	3adant1r 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
23	22	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
25	24	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
27	26	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> U e. J )
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. U )
29	28	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> Z e. U )
30		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. ( T \ U ) )
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 27659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) )
32		nfv 1626	. . . . . . 7 |- F/ g ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) )
33	10	nfel2 2552	. . . . . . . 8 |- F/ h g e. Q
34		nfv 1626	. . . . . . . 8 |- F/ h 0 < ( g ` s )
35	33, 34	nfan 1842	. . . . . . 7 |- F/ h ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) )
36		eleq1 2464	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( h e. Q <-> g e. Q ) )
37		fveq1 5686	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( h ` s ) = ( g ` s ) )
38	37	breq2d 4184	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` s ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
39	36, 38	anbi12d 692	. . . . . . 7 |- ( h = g -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) )
40	32, 35, 39	cbvex 2038	. . . . . 6 |- ( E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
41	31, 40	sylib 189	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. _V )
43		rabexg 4313	. . . . . . . 8 |- ( T e. _V -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
45	44	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
46		eldifi 3429	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( T \ U ) -> s e. T )
47	46	ad2antlr 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. T )
48		simprr 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> 0 < ( g ` s ) )
49		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( g ` t ) = ( g ` s ) )
50	49	breq2d 4184	. . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( 0 < ( g ` t ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
51	50	elrab 3052	. . . . . . 7 |- ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } <-> ( s e. T /\ 0 < ( g ` s ) ) )
52	47, 48, 51	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
53		simpll 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> ph )
54	16	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> A C_ ( J Cn K ) )
55		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. Q )
56	55, 12	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
57		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( h ` Z ) = ( g ` Z ) )
58	57	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( g ` Z ) = 0 ) )
59		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
60	59	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
61	59	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
62	60, 61	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
63	62	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
64	58, 63	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
65	64	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
66	56, 65	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
67	66	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. A )
68	54, 67	sseldd 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. ( J Cn K ) )
69	68	ad2ant2r 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
70		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t 0
71		nfcv 2540	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t g
72		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t g e. ( J Cn K )
73	4, 72	nfan 1842	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ g e. ( J Cn K ) )
74		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
75		0xr 9087	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> 0 e. RR* )
77		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 27557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
79	53, 69, 78	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
80		eqidd 2405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
81		nfv 1626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
82		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h g
83	59	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( g ` t ) ) )
84	83	rabbidv 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
85	84	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 27561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. Q /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
87	55, 80, 86	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
88	87	ad2ant2r 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
89		eqeq1 2410	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
90	89	rexbidv 2687	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
91	90	elrab 3052	. . . . . . . 8 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J /\ E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
92	79, 88, 91	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
94	92, 93	syl6eleqr 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
95		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
96		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ w s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
97		nfrab1 2848	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ w { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
98	93, 97	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . 10 |- F/_ w W
99	98	nfel2 2552	. . . . . . . . 9 |- F/ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W
100	96, 99	nfan 1842	. . . . . . . 8 |- F/ w ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
101		eleq2 2465	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( s e. w <-> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
102		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w e. W <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) )
103	101, 102	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( ( s e. w /\ w e. W ) <-> ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) )
104	95, 100, 103	spcegf 2992	. . . . . . 7 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V -> ( ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) ) )
105	104	imp 419	. . . . . 6 |- ( ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V /\ ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 1182	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
107	41, 106	exlimddv 1645	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
108		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ w s
109	108, 98	elunif 27554	. . . 4 |- ( s e. U. W <-> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
110	107, 109	sylibr 204	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. U. W )
111	110	ex 424	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( T \ U ) -> s e. U. W ) )
112	111	ssrdv 3314	1 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   (,)cioo 10872   topGenctg 13620   Cn ccn 17242   Compccmp 17403

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  27666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305