Theorem stoweidlem46 31573

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	|- F/_ t U
stoweidlem46.2	|- F/_ h Q
stoweidlem46.3	|- F/ q ph
stoweidlem46.4	|- F/ t ph
stoweidlem46.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem46.6	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem46.7	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem46.8	|- T = U. J
stoweidlem46.9	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem46.10	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem46.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem46.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem46.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem46.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem46.17	|- ( ph -> T e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, q, t, T   x, f, q, t, T   A, f, g, h, t   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g   w, g, h, t, T   g, W   A, q, r   Z, q, x   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   A( w)   Q( x, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 |- F/ q ph
2		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ q s e. ( T \ U )
3	1, 2	nfan 1875	. . . . . . 7 |- F/ q ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
5		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t T
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t U
7	5, 6	nfdif 3625	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( T \ U )
8	7	nfel2 2647	. . . . . . . 8 |- F/ t s e. ( T \ U )
9	4, 8	nfan 1875	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 |- F/_ h Q
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 |- T = U. J
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
15	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> J e. Comp )
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
17	16	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	18	3adant1r 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	20	3adant1r 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
23	22	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
25	24	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
27	26	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> U e. J )
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. U )
29	28	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> Z e. U )
30		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. ( T \ U ) )
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 31570	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) )
32		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ g ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) )
33	10	nfel2 2647	. . . . . . . 8 |- F/ h g e. Q
34		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ h 0 < ( g ` s )
35	33, 34	nfan 1875	. . . . . . 7 |- F/ h ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) )
36		eleq1 2539	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( h e. Q <-> g e. Q ) )
37		fveq1 5865	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( h ` s ) = ( g ` s ) )
38	37	breq2d 4459	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` s ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
39	36, 38	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( h = g -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) )
40	32, 35, 39	cbvex 1995	. . . . . 6 |- ( E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
41	31, 40	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. _V )
43		rabexg 4597	. . . . . . . 8 |- ( T e. _V -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
45	44	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
46		eldifi 3626	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( T \ U ) -> s e. T )
47	46	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. T )
48		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> 0 < ( g ` s ) )
49		fveq2 5866	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( g ` t ) = ( g ` s ) )
50	49	breq2d 4459	. . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( 0 < ( g ` t ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
51	50	elrab 3261	. . . . . . 7 |- ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } <-> ( s e. T /\ 0 < ( g ` s ) ) )
52	47, 48, 51	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
53		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> ph )
54	16	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> A C_ ( J Cn K ) )
55		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. Q )
56	55, 12	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
57		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( h ` Z ) = ( g ` Z ) )
58	57	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( g ` Z ) = 0 ) )
59		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
60	59	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
61	59	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
62	60, 61	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
63	62	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
64	58, 63	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
65	64	elrab 3261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
66	56, 65	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
67	66	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. A )
68	54, 67	sseldd 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. ( J Cn K ) )
69	68	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
70		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t 0
71		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t g
72		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t g e. ( J Cn K )
73	4, 72	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ g e. ( J Cn K ) )
74		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
75		0xr 9641	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> 0 e. RR* )
77		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 31199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
79	53, 69, 78	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
80		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
81		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
82		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h g
83	59	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( g ` t ) ) )
84	83	rabbidv 3105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
85	84	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 31203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. Q /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
87	55, 80, 86	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
88	87	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
89		eqeq1 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
90	89	rexbidv 2973	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
91	90	elrab 3261	. . . . . . . 8 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J /\ E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
92	79, 88, 91	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
94	92, 93	syl6eleqr 2566	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
95		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
96		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ w s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
97		nfrab1 3042	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ w { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
98	93, 97	nfcxfr 2627	. . . . . . . . . 10 |- F/_ w W
99	98	nfel2 2647	. . . . . . . . 9 |- F/ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W
100	96, 99	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ w ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
101		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( s e. w <-> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
102		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w e. W <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) )
103	101, 102	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( ( s e. w /\ w e. W ) <-> ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) )
104	95, 100, 103	spcegf 3194	. . . . . . 7 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V -> ( ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) ) )
105	104	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V /\ ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
107	41, 106	exlimddv 1702	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
108		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ w s
109	108, 98	elunif 31196	. . . 4 |- ( s e. U. W <-> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
110	107, 109	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. U. W )
111	110	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( T \ U ) -> s e. U. W ) )
112	111	ssrdv 3510	1 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494   + caddc 9496   x. cmul 9498   RR*cxr 9628   < clt 9629   <_ cle 9630   (,)cioo 11530   topGenctg 14696   Cn ccn 19531   Compccmp 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-mulf 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  31577