Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem43 38936
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1 𝑔𝜑
stoweidlem43.2 𝑡𝜑
stoweidlem43.3 𝑄
stoweidlem43.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem43.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
stoweidlem43.13 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem43.14 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem43.15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,   𝑆,   ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3 𝑔𝜑
2 nfv 1830 . . 3 𝑔𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
43eldifad 3552 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑇)
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑈)
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
7 elunii 4377 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍 𝐽)
85, 6, 7syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑𝑍 𝐽)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
108, 9syl6eleqr 2699 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑇)
113eldifbd 3553 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
12 nelne2 2879 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑈) → 𝑍𝑆)
135, 11, 12syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑆)
1413necomd 2837 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑍)
154, 10, 143jca 1235 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
16 simpr2 1061 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → 𝑍𝑇)
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9 𝑡𝜑
18 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)
1917, 18nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑡(𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
20 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑡𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)
2119, 20nfim 1813 . . . . . . 7 𝑡((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
22 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑡𝑇𝑍𝑇))
23 neeq2 2845 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑆𝑡𝑆𝑍))
2422, 233anbi23d 1394 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)))
2524anbi2d 736 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑍))
2726neeq2d 2842 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2827rexbidv 3034 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2925, 28imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))))
30 simpr1 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → 𝑆𝑇)
31 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑇𝑆𝑇))
32 neeq1 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑡𝑆𝑡))
3331, 323anbi13d 1393 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)))
3433anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡))))
35 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑔𝑟) = (𝑔𝑆))
3635neeq1d 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3736rexbidv 3034 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3834, 37imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))))
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)))
4138, 40vtoclga 3245 . . . . . . . 8 (𝑆𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
4230, 41mpcom 37 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))
4321, 29, 42vtoclg1f 3238 . . . . . 6 (𝑍𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4416, 43mpcom 37 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
45 df-rex 2902 . . . . 5 (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4644, 45sylib 207 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4715, 46mpdan 699 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
48 nfv 1830 . . . . . 6 𝑡(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
4917, 48nfan 1816 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
50 nfcv 2751 . . . . 5 𝑡𝑔
51 eqid 2610 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
5554sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5652, 9, 53, 55fcnre 38207 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
5756adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
59583adant1r 1311 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
6160adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
624adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑆𝑇)
6310adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑍𝑇)
64 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑔𝐴)
65 simprr 792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 38916 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
67 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴))
68 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑆) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆))
69 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑍) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍))
7068, 69neeq12d 2843 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍)))
7169eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑍) = 0 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
7267, 70, 713anbi123d 1391 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0)))
7372spcegv 3267 . . . . . 6 ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
74733ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
7574pm2.43i 50 . . . 4 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
7666, 75syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
771, 2, 47, 76exlimdd 2075 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
78 stoweidlem43.3 . . . . 5 𝑄
79 nfmpt1 4675 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
80 nfcv 2751 . . . . 5 𝑡𝑓
81 nfcv 2751 . . . . 5 𝑡(𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))
82 nfv 1830 . . . . . 6 𝑡(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
8317, 82nfan 1816 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
84 stoweidlem43.5 . . . . 5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
85 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑡))
8685, 85oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)) = ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
8786cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
88 eqid 2610 . . . . 5 sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )
89 eqid 2610 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9190adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
9254adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝐴𝑘𝐴))
94933anbi2d 1396 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴)))
95 fveq1 6102 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝑡) = (𝑘𝑡))
9695oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡)) = ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡)))
9796mpteq2dv 4673 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))))
9897eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴))
9994, 98imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)))
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10199, 100chvarv 2251 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
1021013adant1r 1311 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10360adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1044adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑆𝑇)
10510adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑍𝑇)
106 simpr1 1060 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑓𝐴)
107 simpr2 1061 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍))
108 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑍) = 0)
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 38929 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
110109ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
111110exlimdv 1848 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
11277, 111mpd 15 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  (,)cioo 12046  topGenctg 15921   Cn ccn 20838  Compccmp 20999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  stoweidlem46  38939
 Copyright terms: Public domain W3C validator