MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsvscafval 15977
Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsvscaval.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsvscaval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s · = ( ·𝑠𝑅)
pwsvscaval.t = ( ·𝑠𝑌)
pwsvscaval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsvscaval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsvscaval.a (𝜑𝐴𝐾)
pwsvscaval.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsvscafval (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsvscaval.t . . . 4 = ( ·𝑠𝑌)
2 pwsvscaval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
3 pwsvscaval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
4 pwsvscaval.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsvscaval.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
64, 5pwsval 15969 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
72, 3, 6syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
87fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
91, 8syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
109oveqd 6566 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋))
11 eqid 2610 . . 3 (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))
12 eqid 2610 . . 3 (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13 eqid 2610 . . 3 ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
14 pwsvscaval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
15 fvex 6113 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
165, 15eqeltri 2684 . . . 4 𝐹 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
18 fnconstg 6006 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
192, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
20 pwsvscaval.a . . 3 (𝜑𝐴𝐾)
21 pwsvscaval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
22 pwsvscaval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
237fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2422, 23syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2521, 24eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2611, 12, 13, 14, 17, 3, 19, 20, 25prdsvscaval 15962 . 2 (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋𝑥))))
27 fvconst2g 6372 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
282, 27sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2928fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = ( ·𝑠𝑅))
30 pwsvscaval.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑅)
3129, 30syl6eqr 2662 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
3231oveqd 6566 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋𝑥)) = (𝐴 · (𝑋𝑥)))
3332mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋𝑥))))
3420adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝐾)
35 fvex 6113 . . . . 5 (𝑋𝑥) ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ V)
37 fconstmpt 5085 . . . . 5 (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥𝐼𝐴)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥𝐼𝐴))
39 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
404, 39, 22, 2, 3, 21pwselbas 15972 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4140feqmptd 6159 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
423, 34, 36, 38, 41offval2 6812 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋𝑥))))
4333, 42eqtr4d 2647 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋𝑥))) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
4410, 26, 433eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Xscprds 15929  s cpws 15930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-pws 15933
This theorem is referenced by:  pwsvscaval  15978  pwsdiaglmhm  18878  pwssplit3  18882  frlmvscafval  19928
  Copyright terms: Public domain W3C validator