Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsvscafval Structured version   Unicode version

Theorem pwsvscafval 14998
 Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsvscaval.y s
pwsvscaval.b
pwsvscaval.s
pwsvscaval.t
pwsvscaval.f Scalar
pwsvscaval.k
pwsvscaval.r
pwsvscaval.i
pwsvscaval.a
pwsvscaval.x
Assertion
Ref Expression
pwsvscafval

Proof of Theorem pwsvscafval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsvscaval.t . . . 4
2 pwsvscaval.r . . . . . 6
3 pwsvscaval.i . . . . . 6
4 pwsvscaval.y . . . . . . 7 s
5 pwsvscaval.f . . . . . . 7 Scalar
64, 5pwsval 14990 . . . . . 6 s
72, 3, 6syl2anc 659 . . . . 5 s
87fveq2d 5807 . . . 4 s
91, 8syl5eq 2453 . . 3 s
109oveqd 6249 . 2 s
11 eqid 2400 . . 3 s s
12 eqid 2400 . . 3 s s
13 eqid 2400 . . 3 s s
14 pwsvscaval.k . . 3
15 fvex 5813 . . . . 5 Scalar
165, 15eqeltri 2484 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 fnconstg 5710 . . . 4
192, 18syl 17 . . 3
20 pwsvscaval.a . . 3
21 pwsvscaval.x . . . 4
22 pwsvscaval.b . . . . 5
237fveq2d 5807 . . . . 5 s
2422, 23syl5eq 2453 . . . 4 s
2521, 24eleqtrd 2490 . . 3 s
2611, 12, 13, 14, 17, 3, 19, 20, 25prdsvscaval 14983 . 2 s
27 fvconst2g 6059 . . . . . . . 8
282, 27sylan 469 . . . . . . 7
2928fveq2d 5807 . . . . . 6
30 pwsvscaval.s . . . . . 6
3129, 30syl6eqr 2459 . . . . 5
3231oveqd 6249 . . . 4
3332mpteq2dva 4478 . . 3
3420adantr 463 . . . 4
35 fvex 5813 . . . . 5
3635a1i 11 . . . 4
37 fconstmpt 4984 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4
39 eqid 2400 . . . . . 6
404, 39, 22, 2, 3, 21pwselbas 14993 . . . . 5
4140feqmptd 5856 . . . 4
423, 34, 36, 38, 41offval2 6492 . . 3
4333, 42eqtr4d 2444 . 2
4410, 26, 433eqtrd 2445 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840  cvv 3056  csn 3969   cmpt 4450   cxp 4938   wfn 5518  cfv 5523  (class class class)co 6232   cof 6473  cbs 14731  Scalarcsca 14802  cvsca 14803  scprds 14950   s cpws 14951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-hom 14823  df-cco 14824  df-prds 14952  df-pws 14954 This theorem is referenced by:  pwsvscaval  14999  pwsdiaglmhm  17913  pwssplit3  17917  frlmvscafval  18985
 Copyright terms: Public domain W3C validator