MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem4 20255
Description: Lemma 4 for m2detleib 20256. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
m2detleiblem3.m · = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   · (𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem4
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18318 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4 m2detleiblem3.m . . 3 · = (+g𝐺)
5 fvex 6113 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) ∈ V
61, 5eqeltri 2684 . . . 4 𝐺 ∈ V
76a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ V)
8 1ex 9914 . . . . . . 7 1 ∈ V
9 2nn 11062 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
10 prex 4836 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
1110prid2 4242 . . . . . . . 8 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
12 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
1512, 13, 14symg2bas 17641 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
1611, 15syl5eleqr 2695 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
178, 9, 16mp2an 704 . . . . . 6 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
18 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
1917, 18mpbiri 247 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄𝑃)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2114oveq1i 6559 . . . . . . 7 (𝑁 Mat 𝑅) = ({1, 2} Mat 𝑅)
2220, 21eqtri 2632 . . . . . 6 𝐴 = ({1, 2} Mat 𝑅)
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2414fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘{1, 2})
2524fveq2i 6106 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2613, 25eqtri 2632 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2722, 23, 26matepmcl 20087 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2819, 27syl3an2 1352 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
29 mpteq1 4665 . . . . . 6 (𝑁 = {1, 2} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)))
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
3130fmpt 6289 . . . 4 (∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
3228, 31sylib 207 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
333, 4, 7, 32gsumpr12val 17105 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)))
348prid1 4241 . . . . . 6 1 ∈ {1, 2}
3534, 14eleqtrri 2687 . . . . 5 1 ∈ 𝑁
3620, 23, 13matepmcl 20087 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
3719, 36syl3an2 1352 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
38 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘1))
39 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4140eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)))
4241rspcva 3280 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
4335, 37, 42sylancr 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
44 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
4540, 44fvmptg 6189 . . . . 5 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4635, 43, 45sylancr 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
47 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘1) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘1))
48 1ne2 11117 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
49 2ex 10969 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
508, 49fvpr1 6361 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘1) = 2)
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘1) = 2
5247, 51syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘1) = 2)
53523ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘1) = 2)
5453oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) = (2𝑀1))
5546, 54eqtrd 2644 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = (2𝑀1))
5649prid2 4242 . . . . . 6 2 ∈ {1, 2}
5756, 14eleqtrri 2687 . . . . 5 2 ∈ 𝑁
58 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘2))
59 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → 𝑛 = 2)
6058, 59oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6160eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)))
6261rspcva 3280 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6357, 37, 62sylancr 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6460, 44fvmptg 6189 . . . . 5 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6557, 63, 64sylancr 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
66 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘2) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘2))
6749, 8fvpr2 6362 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘2) = 1)
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘2) = 1
6966, 68syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄‘2) = 1)
70693ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘2) = 1)
7170oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) = (1𝑀2))
7265, 71eqtrd 2644 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = (1𝑀2))
7355, 72oveq12d 6567 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
7433, 73eqtrd 2644 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  cop 4131  cmpt 4643  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  cn 10897  2c2 10947  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924  SymGrpcsymg 17620  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-symg 17621  df-mgp 18313  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033
This theorem is referenced by:  m2detleib  20256
  Copyright terms: Public domain W3C validator