MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem4 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem4 19001
Description: Lemma 4 for m2detleib 19002. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem2.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
m2detleiblem2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
m2detleiblem2.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
m2detleiblem3.m  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 2 M 1 )  .x.  (
1 M 2 ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    Q, n    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    .x. ( n)    G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem4
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 17019 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
4 m2detleiblem3.m . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 fvex 5882 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2551 . . . 4  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  _V )
8 1ex 9603 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
9 2nn 10705 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
10 prex 4695 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  _V
1110prid2 4142 . . . . . . . 8  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
1512, 13, 14symg2bas 16295 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
1611, 15syl5eleqr 2562 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  P
)
178, 9, 16mp2an 672 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  P
18 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  P
) )
1917, 18mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  Q  e.  P
)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2114oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( N Mat 
R )  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
2220, 21eqtri 2496 . . . . . 6  |-  A  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
2414fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  { 1 ,  2 } )
2524fveq2i 5875 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  { 1 ,  2 } ) )
2613, 25eqtri 2496 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { 1 ,  2 } ) )
2722, 23, 26matepmcl 18833 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
2819, 27syl3an2 1262 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
29 mpteq1 4533 . . . . . 6  |-  ( N  =  { 1 ,  2 }  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) )  =  ( n  e.  { 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
3130fmpt 6053 . . . 4  |-  ( A. n  e.  { 1 ,  2 }  (
( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R
) )
3228, 31sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R ) )
333, 4, 7, 32gsumpr12val 15783 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `
 1 )  .x.  ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 ) ) )
348prid1 4141 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  2 }
3534, 14eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  1  e.  N
3620, 23, 13matepmcl 18833 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
3719, 36syl3an2 1262 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
38 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
1 ) )
39 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4038, 39oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 1 ) M 1 ) )
4140eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
4241rspcva 3217 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
4335, 37, 42sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
44 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
4540, 44fvmptg 5955 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  N  /\  ( ( Q ` 
1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  =  ( ( Q `  1
) M 1 ) )
4635, 43, 45sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( ( Q `  1 ) M 1 ) )
47 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
) )
48 1ne2 10760 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
49 2ex 10619 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
508, 49fvpr1 6115 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  2 )
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  2
5247, 51syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  2 )
53523ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  1 )  =  2 )
5453oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  =  ( 2 M 1 ) )
5546, 54eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( 2 M 1 ) )
5649prid2 4142 . . . . . 6  |-  2  e.  { 1 ,  2 }
5756, 14eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  2  e.  N
58 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
2 ) )
59 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  n  =  2 )
6058, 59oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 2 ) M 2 ) )
6160eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R
) ) )
6261rspcva 3217 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6357, 37, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6460, 44fvmptg 5955 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  N  /\  ( ( Q ` 
2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 )  =  ( ( Q `  2
) M 2 ) )
6557, 63, 64sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( ( Q `  2 ) M 2 ) )
66 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
) )
6749, 8fvpr2 6116 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1 )
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1
6966, 68syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  1 )
70693ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  2 )  =  1 )
7170oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  =  ( 1 M 2 ) )
7265, 71eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( 1 M 2 ) )
7355, 72oveq12d 6313 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  .x.  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
) )  =  ( ( 2 M 1 )  .x.  ( 1 M 2 ) ) )
7433, 73eqtrd 2508 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 2 M 1 )  .x.  (
1 M 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118   {cpr 4035   <.cop 4039    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505   NNcn 10548   2c2 10597   Basecbs 14507   +g cplusg 14572    gsumg cgsu 14713   SymGrpcsymg 16274  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   Mat cmat 18778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-symg 16275  df-mgp 17014  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mat 18779
This theorem is referenced by:  m2detleib  19002
  Copyright terms: Public domain W3C validator