MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem4 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem4 18578
Description: Lemma 4 for m2detleib 18579. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem2.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
m2detleiblem2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
m2detleiblem2.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
m2detleiblem3.m  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 2 M 1 )  .x.  (
1 M 2 ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    Q, n    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    .x. ( n)    G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem4
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 16729 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
4 m2detleiblem3.m . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 fvex 5812 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2538 . . . 4  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  _V )
8 1ex 9496 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
9 2nn 10594 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
10 prex 4645 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  _V
1110prid2 4095 . . . . . . . 8  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
12 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
1512, 13, 14symg2bas 16026 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
1611, 15syl5eleqr 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  P
)
178, 9, 16mp2an 672 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  P
18 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  P
) )
1917, 18mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  Q  e.  P
)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2114oveq1i 6213 . . . . . . 7  |-  ( N Mat 
R )  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
2220, 21eqtri 2483 . . . . . 6  |-  A  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
2414fveq2i 5805 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  { 1 ,  2 } )
2524fveq2i 5805 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  { 1 ,  2 } ) )
2613, 25eqtri 2483 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { 1 ,  2 } ) )
2722, 23, 26matepmcl 18484 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
2819, 27syl3an2 1253 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
29 mpteq1 4483 . . . . . 6  |-  ( N  =  { 1 ,  2 }  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) )  =  ( n  e.  { 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
3130fmpt 5976 . . . 4  |-  ( A. n  e.  { 1 ,  2 }  (
( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R
) )
3228, 31sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R ) )
333, 4, 7, 32gsumpr12val 15638 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `
 1 )  .x.  ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 ) ) )
348prid1 4094 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  2 }
3534, 14eleqtrri 2541 . . . . 5  |-  1  e.  N
3620, 23, 13matepmcl 18484 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
3719, 36syl3an2 1253 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
38 fveq2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
1 ) )
39 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4038, 39oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 1 ) M 1 ) )
4140eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
4241rspcva 3177 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
4335, 37, 42sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
44 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
4540, 44fvmptg 5884 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  N  /\  ( ( Q ` 
1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  =  ( ( Q `  1
) M 1 ) )
4635, 43, 45sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( ( Q `  1 ) M 1 ) )
47 fveq1 5801 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
) )
48 1ne2 10649 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
49 2ex 10508 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
508, 49fvpr1 6033 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  2 )
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  1
)  =  2
5247, 51syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  2 )
53523ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  1 )  =  2 )
5453oveq1d 6218 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  =  ( 2 M 1 ) )
5546, 54eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( 2 M 1 ) )
5649prid2 4095 . . . . . 6  |-  2  e.  { 1 ,  2 }
5756, 14eleqtrri 2541 . . . . 5  |-  2  e.  N
58 fveq2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
2 ) )
59 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  n  =  2 )
6058, 59oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 2 ) M 2 ) )
6160eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R
) ) )
6261rspcva 3177 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6357, 37, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6460, 44fvmptg 5884 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  N  /\  ( ( Q ` 
2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 )  =  ( ( Q `  2
) M 2 ) )
6557, 63, 64sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( ( Q `  2 ) M 2 ) )
66 fveq1 5801 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
) )
6749, 8fvpr2 6034 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1 )
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } `  2
)  =  1
6966, 68syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  1 )
70693ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  2 )  =  1 )
7170oveq1d 6218 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  =  ( 1 M 2 ) )
7265, 71eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( 1 M 2 ) )
7355, 72oveq12d 6221 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  .x.  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
) )  =  ( ( 2 M 1 )  .x.  ( 1 M 2 ) ) )
7433, 73eqtrd 2495 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 2 M 1 )  .x.  (
1 M 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078   {cpr 3990   <.cop 3994    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9398   NNcn 10437   2c2 10486   Basecbs 14296   +g cplusg 14361    gsumg cgsu 14502   SymGrpcsymg 16005  mulGrpcmgp 16723   Ringcrg 16778   Mat cmat 18415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-seq 11928  df-fac 12173  df-bc 12200  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-prds 14509  df-pws 14511  df-symg 16006  df-mgp 16724  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-dsmm 18292  df-frlm 18307  df-mat 18417
This theorem is referenced by:  m2detleib  18579
  Copyright terms: Public domain W3C validator