Theorem lebnum 22571

Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If 𝑋 is a compact metric space and 𝑈 is an open cover of 𝑋, then there exists a positive real number 𝑑 such that every ball of size 𝑑 (and every subset of a ball of size 𝑑, including every subset of diameter less than 𝑑) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
lebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
lebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝐽,𝑑,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑑,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐽(𝑢)

Proof of Theorem lebnum

Dummy variables 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lebnum.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		lebnum.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
3		lebnum.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 21949	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		lebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopnuni 22056	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
9		lebnum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
10	8, 9	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈)
11		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	cmpcov 21002	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑈 ⊆ 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑈) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
14		1rp 11712	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15		inss1 3795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑈
16		simprl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
17	15, 16	sseldi 3566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 𝑈)
18	17	elpwid 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
19	18	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
20		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑤)
21	19, 20	sseldd 3569	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	5	ad3antrrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		rpxr 11716	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
25	14, 24	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
26		blssm 22033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
28		sseq2 3590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋))
29	28	rspcev 3282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
30	21, 27, 29	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
31	30	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢)
32		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 1 → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)1))
33	32	sseq1d 3595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 1 → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
34	33	rexbidv 3034	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 1 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
35	34	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 1 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢))
36	35	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
37	14, 31, 36	sylancr 694	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
38	3	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
39	1	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝐽 ∈ Comp)
40	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝑈)
41	2	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
42	40, 41	sstrd 3578	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ⊆ 𝐽)
43	8	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
44		simplrr 797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)
45	43, 44	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑋 = ∪ 𝑤)
46		inss2 3796	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ⊆ Fin
47	46, 16	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → 𝑤 ∈ Fin)
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ Fin)
49		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑤)
50		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑤 inf(ran (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑘) ↦ (𝑦𝐷𝑧)), ℝ*, < ))
51		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
52	6, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51	lebnumlem3 22570	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
53		ssrexv 3630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑈 → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
54	40, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
55	54	ralimdv 2946	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
56	55	reximdv 2999	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑤 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
57	52, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
58	37, 57	pm2.61dan 828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ ∪ 𝐽 = ∪ 𝑤)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
59	13, 58	rexlimddv 3017	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  infcinf 8230  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  Σcsu 14264  topGenctg 15921  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557  Compccmp 20999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937

This theorem is referenced by:  xlebnum  22572  lebnumii  22573