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Theorem lebnum 21227
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If  X is a compact metric space and  U is an open cover of  X, then there exists a positive real number 
d such that every ball of size  d (and every subset of a ball of size  d, including every subset of diameter less than  d) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
lebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    J, d, x    U, d, u, x    ph, d, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    J( u)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
2 lebnum.s . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
3 lebnum.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 20600 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopnuni 20707 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
9 lebnum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
108, 9eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  U. J  =  U. U )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211cmpcov 19683 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  U  C_  J  /\  U. J  =  U. U )  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
131, 2, 10, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
14 1rp 11224 . . . 4  |-  1  e.  RR+
15 inss1 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
16 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
1715, 16sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ~P U )
1817elpwid 4020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  C_  U
)
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  w  C_  U
)
20 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  w )
2119, 20sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  U )
225ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
24 rpxr 11227 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
2514, 24mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  1  e.  RR* )
26 blssm 20684 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
2722, 23, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
)
28 sseq2 3526 . . . . . . 7  |-  ( u  =  X  ->  (
( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
) )
2928rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  U  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
3021, 27, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
)
3130ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
32 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  D
) d )  =  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3332sseq1d 3531 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  (
( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3433rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3534ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3635rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
3714, 31, 36sylancr 663 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
383ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
391ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  J  e.  Comp )
4018adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  U
)
412ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U  C_  J
)
4240, 41sstrd 3514 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  J
)
438ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. J )
44 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U. J  = 
U. w )
4543, 44eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. w )
46 inss2 3719 . . . . . . 7  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
4746, 16sseldi 3502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  Fin )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  e.  Fin )
49 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  -.  X  e.  w )
50 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
51 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
526, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51lebnumlem3 21226 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
53 ssrexv 3565 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  U  ->  ( E. u  e.  w  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5440, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5554ralimdv 2874 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5655reximdv 2937 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5752, 56mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
5837, 57pm2.61dan 789 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5913, 58rexlimddv 2959 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   supcsup 7900   1c1 9493   RR*cxr 9627    < clt 9628   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   sum_csu 13471   topGenctg 14693   *Metcxmt 18202   Metcme 18203   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207   Compccmp 19680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588
This theorem is referenced by:  xlebnum  21228  lebnumii  21229
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