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Theorem lebnum 21589
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If  X is a compact metric space and  U is an open cover of  X, then there exists a positive real number 
d such that every ball of size  d (and every subset of a ball of size  d, including every subset of diameter less than  d) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
lebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    J, d, x    U, d, u, x    ph, d, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    J( u)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
2 lebnum.s . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
3 lebnum.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 20962 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopnuni 21069 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
9 lebnum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
108, 9eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  U. J  =  U. U )
11 eqid 2457 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211cmpcov 20015 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  U  C_  J  /\  U. J  =  U. U )  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
131, 2, 10, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
14 1rp 11249 . . . 4  |-  1  e.  RR+
15 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
16 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
1715, 16sseldi 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ~P U )
1817elpwid 4025 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  C_  U
)
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  w  C_  U
)
20 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  w )
2119, 20sseldd 3500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  U )
225ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
24 rpxr 11252 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
2514, 24mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  1  e.  RR* )
26 blssm 21046 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
2722, 23, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
)
28 sseq2 3521 . . . . . . 7  |-  ( u  =  X  ->  (
( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
) )
2928rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  U  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
3021, 27, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
)
3130ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
32 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  D
) d )  =  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3332sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  (
( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3433rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3534ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3635rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
3714, 31, 36sylancr 663 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
383ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
391ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  J  e.  Comp )
4018adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  U
)
412ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U  C_  J
)
4240, 41sstrd 3509 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  J
)
438ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. J )
44 simplrr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U. J  = 
U. w )
4543, 44eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. w )
46 inss2 3715 . . . . . . 7  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
4746, 16sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  Fin )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  e.  Fin )
49 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  -.  X  e.  w )
50 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
51 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
526, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51lebnumlem3 21588 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
53 ssrexv 3561 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  U  ->  ( E. u  e.  w  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5440, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5554ralimdv 2867 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5655reximdv 2931 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5752, 56mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
5837, 57pm2.61dan 791 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5913, 58rexlimddv 2953 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   1c1 9510   RR*cxr 9644    < clt 9645   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   sum_csu 13519   topGenctg 14854   *Metcxmt 18529   Metcme 18530   ballcbl 18531   MetOpencmopn 18534   Compccmp 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950
This theorem is referenced by:  xlebnum  21590  lebnumii  21591
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