Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Unicode version

Theorem lebnum 21589
 Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If is a compact metric space and is an open cover of , then there exists a positive real number such that every ball of size (and every subset of a ball of size , including every subset of diameter less than ) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
Assertion
Ref Expression
lebnum
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3
2 lebnum.s . . 3
3 lebnum.d . . . . . 6
4 metxmet 20962 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 lebnum.j . . . . . 6
76mopnuni 21069 . . . . 5
85, 7syl 16 . . . 4
9 lebnum.u . . . 4
108, 9eqtr3d 2500 . . 3
11 eqid 2457 . . . 4
1211cmpcov 20015 . . 3
131, 2, 10, 12syl3anc 1228 . 2
14 1rp 11249 . . . 4
15 inss1 3714 . . . . . . . . . 10
16 simprl 756 . . . . . . . . . 10
1715, 16sseldi 3497 . . . . . . . . 9
1817elpwid 4025 . . . . . . . 8
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7
20 simplr 755 . . . . . . 7
2119, 20sseldd 3500 . . . . . 6
225ad3antrrr 729 . . . . . . 7
23 simpr 461 . . . . . . 7
24 rpxr 11252 . . . . . . . 8
2514, 24mp1i 12 . . . . . . 7
26 blssm 21046 . . . . . . 7
2722, 23, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . 6
28 sseq2 3521 . . . . . . 7
2928rspcev 3210 . . . . . 6
3021, 27, 29syl2anc 661 . . . . 5
3130ralrimiva 2871 . . . 4
32 oveq2 6304 . . . . . . . 8
3332sseq1d 3526 . . . . . . 7
3433rexbidv 2968 . . . . . 6
3534ralbidv 2896 . . . . 5
3635rspcev 3210 . . . 4
3714, 31, 36sylancr 663 . . 3
383ad2antrr 725 . . . . 5
391ad2antrr 725 . . . . 5
4018adantr 465 . . . . . 6
412ad2antrr 725 . . . . . 6
4240, 41sstrd 3509 . . . . 5
438ad2antrr 725 . . . . . 6
44 simplrr 762 . . . . . 6
4543, 44eqtrd 2498 . . . . 5
46 inss2 3715 . . . . . . 7
4746, 16sseldi 3497 . . . . . 6
4847adantr 465 . . . . 5
49 simpr 461 . . . . 5
50 eqid 2457 . . . . 5
51 eqid 2457 . . . . 5
526, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51lebnumlem3 21588 . . . 4
53 ssrexv 3561 . . . . . . 7
5440, 53syl 16 . . . . . 6
5554ralimdv 2867 . . . . 5
5655reximdv 2931 . . . 4
5752, 56mpd 15 . . 3
5837, 57pm2.61dan 791 . 2
5913, 58rexlimddv 2953 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   cdif 3468   cin 3470   wss 3471  cpw 4015  cuni 4251   cmpt 4515  ccnv 5007   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  cfn 7535  csup 7918  c1 9510  cxr 9644   clt 9645  crp 11245  cioo 11554  csu 13519  ctg 14854  cxmt 18529  cme 18530  cbl 18531  cmopn 18534  ccmp 20012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950 This theorem is referenced by:  xlebnum  21590  lebnumii  21591
 Copyright terms: Public domain W3C validator