Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

StepHypRef Expression
1 nnuz 11599 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11285 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 eqid 2610 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
4 eqid 2610 . . . . . 6 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
53, 4hhims 27413 . . . . 5 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
63, 5hhxmet 27416 . . . 4 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87mopntopon 22054 . . . 4 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
96, 8mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
10 hlimadd.3 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11 hlimadd.4 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ ℋ)
12 hlimadd.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝑣 𝐴)
133hhnv 27406 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
14 df-hba 27210 . . . . . . 7 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
153, 13, 14, 5, 7h2hlm 27221 . . . . . 6 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
16 resss 5342 . . . . . 6 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1715, 16eqsstri 3598 . . . . 5 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1817ssbri 4627 . . . 4 (𝐹𝑣 𝐴𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐴)
1912, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐴)
20 hlimadd.6 . . . 4 (𝜑𝐺𝑣 𝐵)
2117ssbri 4627 . . . 4 (𝐺𝑣 𝐵𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐵)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐵)
233hhva 27407 . . . . 5 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
245, 7, 23vacn 26933 . . . 4 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → + ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
2513, 24mp1i 13 . . 3 (𝜑 → + ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
26 hlimadd.7 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)))
271, 2, 9, 9, 10, 11, 19, 22, 25, 26lmcn2 21262 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))(𝐴 + 𝐵))
2810ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℋ)
2911ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℋ)
30 hvaddcl 27253 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)) ∈ ℋ)
3128, 29, 30syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)) ∈ ℋ)
3231, 26fmptd 6292 . . 3 (𝜑𝐻:ℕ⟶ ℋ)
33 ax-hilex 27240 . . . 4 ℋ ∈ V
34 nnex 10903 . . . 4 ℕ ∈ V
3533, 34elmap 7772 . . 3 (𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
3632, 35sylibr 223 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
3715breqi 4589 . . 3 (𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))(𝐴 + 𝐵))
38 ovex 6577 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ V
3938brres 5323 . . 3 (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))(𝐴 + 𝐵) ↔ (𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))(𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4037, 39bitri 263 . 2 (𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))(𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4127, 36, 40sylanbrc 695 1 (𝜑𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  1c1 9816  ℕcn 10897  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  ⇝𝑡clm 20840   ×t ctx 21173  NrmCVeccnv 26823   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162  normℎcno 27164   −ℎ cmv 27166   ⇝𝑣 chli 27168 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-tms 21937  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213 This theorem is referenced by:  chscllem4  27883
 Copyright terms: Public domain W3C validator