HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Structured version   Unicode version

Theorem hlimadd 25933
Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
hlimadd.4  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
hlimadd.5  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
hlimadd.6  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
hlimadd.7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
hlimadd  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    H( n)

Proof of Theorem hlimadd
StepHypRef Expression
1 nnuz 11129 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10907 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
normh  o.  -h  )
53, 4hhims 25912 . . . . 5  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
63, 5hhxmet 25915 . . . 4  |-  ( normh  o. 
-h  )  e.  ( *Met `  ~H )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  =  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)
87mopntopon 20810 . . . 4  |-  ( (
normh  o.  -h  )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  e.  (TopOn `  ~H ) )
96, 8mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
10 hlimadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
11 hlimadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
12 hlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
133hhnv 25905 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
14 df-hba 25709 . . . . . . 7  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
153, 13, 14, 5, 7h2hlm 25720 . . . . . 6  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
16 resss 5303 . . . . . 6  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )
1715, 16eqsstri 3539 . . . . 5  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) )
1817ssbri 4495 . . . 4  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) A )
1912, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) A )
20 hlimadd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
2117ssbri 4495 . . . 4  |-  ( G 
~~>v  B  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) B )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) B )
233hhva 25906 . . . . 5  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
245, 7, 23vacn 25427 . . . 4  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  tX  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  Cn  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
2513, 24mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  tX  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
26 hlimadd.7 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
271, 2, 9, 9, 10, 11, 19, 22, 25, 26lmcn2 20018 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) ( A  +h  B
) )
2810ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
~H )
2911ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e. 
~H )
30 hvaddcl 25752 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ~H  /\  ( G `  n )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
)  e.  ~H )
3128, 29, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n ) )  e. 
~H )
3231, 26fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
33 ax-hilex 25739 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
34 nnex 10554 . . . 4  |-  NN  e.  _V
3533, 34elmap 7459 . . 3  |-  ( H  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  H : NN --> ~H )
3632, 35sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ~H 
^m  NN ) )
3715breqi 4459 . . 3  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B ) )
38 ovex 6320 . . . 4  |-  ( A  +h  B )  e. 
_V
3938brres 5286 . . 3  |-  ( H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B )  <->  ( H
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4037, 39bitri 249 . 2  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  ( H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4127, 36, 40sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4039   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   1c1 9505   NNcn 10548   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278  TopOnctopon 19264    Cn ccn 19593   ~~> tclm 19595    tX ctx 19929   NrmCVeccnv 25300   ~Hchil 25659    +h cva 25660    .h csm 25661   normhcno 25663    -h cmv 25665    ~~>v chli 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-tms 20693  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hlim 25712
This theorem is referenced by:  chscllem4  26381
  Copyright terms: Public domain W3C validator