HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Structured version   Unicode version

Theorem hlimadd 26831
Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
hlimadd.4  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
hlimadd.5  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
hlimadd.6  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
hlimadd.7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
hlimadd  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    H( n)

Proof of Theorem hlimadd
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 eqid 2422 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
4 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
normh  o.  -h  )
53, 4hhims 26810 . . . . 5  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
63, 5hhxmet 26813 . . . 4  |-  ( normh  o. 
-h  )  e.  ( *Met `  ~H )
7 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  =  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)
87mopntopon 21440 . . . 4  |-  ( (
normh  o.  -h  )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  e.  (TopOn `  ~H ) )
96, 8mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
10 hlimadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
11 hlimadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
12 hlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
133hhnv 26803 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
14 df-hba 26607 . . . . . . 7  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
153, 13, 14, 5, 7h2hlm 26618 . . . . . 6  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
16 resss 5143 . . . . . 6  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )
1715, 16eqsstri 3494 . . . . 5  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) )
1817ssbri 4463 . . . 4  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) A )
1912, 18syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) A )
20 hlimadd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
2117ssbri 4463 . . . 4  |-  ( G 
~~>v  B  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) B )
2220, 21syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) B )
233hhva 26804 . . . . 5  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
245, 7, 23vacn 26315 . . . 4  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  tX  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  Cn  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
2513, 24mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  tX  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
26 hlimadd.7 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
271, 2, 9, 9, 10, 11, 19, 22, 25, 26lmcn2 20650 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) ( A  +h  B
) )
2810ffvelrnda 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
~H )
2911ffvelrnda 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e. 
~H )
30 hvaddcl 26650 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ~H  /\  ( G `  n )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
)  e.  ~H )
3128, 29, 30syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n ) )  e. 
~H )
3231, 26fmptd 6057 . . 3  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
33 ax-hilex 26637 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
34 nnex 10615 . . . 4  |-  NN  e.  _V
3533, 34elmap 7504 . . 3  |-  ( H  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  H : NN --> ~H )
3632, 35sylibr 215 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ~H 
^m  NN ) )
3715breqi 4426 . . 3  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B ) )
38 ovex 6329 . . . 4  |-  ( A  +h  B )  e. 
_V
3938brres 5126 . . 3  |-  ( H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B )  <->  ( H
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4037, 39bitri 252 . 2  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  ( H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4127, 36, 40sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   <.cop 4002   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    |` cres 4851    o. ccom 4853   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    ^m cmap 7476   1c1 9540   NNcn 10609   *Metcxmt 18942   MetOpencmopn 18947  TopOnctopon 19904    Cn ccn 20226   ~~> tclm 20228    tX ctx 20561   NrmCVeccnv 26188   ~Hchil 26557    +h cva 26558    .h csm 26559   normhcno 26561    -h cmv 26563    ~~>v chli 26565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619  ax-hilex 26637  ax-hfvadd 26638  ax-hvcom 26639  ax-hvass 26640  ax-hv0cl 26641  ax-hvaddid 26642  ax-hfvmul 26643  ax-hvmulid 26644  ax-hvmulass 26645  ax-hvdistr1 26646  ax-hvdistr2 26647  ax-hvmul0 26648  ax-hfi 26717  ax-his1 26720  ax-his2 26721  ax-his3 26722  ax-his4 26723
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-lm 20231  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-xms 21321  df-tms 21323  df-grpo 25904  df-gid 25905  df-ginv 25906  df-gdiv 25907  df-ablo 25995  df-vc 26150  df-nv 26196  df-va 26199  df-ba 26200  df-sm 26201  df-0v 26202  df-vs 26203  df-nmcv 26204  df-ims 26205  df-hnorm 26606  df-hba 26607  df-hvsub 26609  df-hlim 26610
This theorem is referenced by:  chscllem4  27278
  Copyright terms: Public domain W3C validator