HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Structured version   Unicode version

Theorem hlimadd 26236
Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
hlimadd.4  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
hlimadd.5  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
hlimadd.6  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
hlimadd.7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
hlimadd  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    H( n)

Proof of Theorem hlimadd
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
4 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
normh  o.  -h  )
53, 4hhims 26215 . . . . 5  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
63, 5hhxmet 26218 . . . 4  |-  ( normh  o. 
-h  )  e.  ( *Met `  ~H )
7 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  =  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)
87mopntopon 21067 . . . 4  |-  ( (
normh  o.  -h  )  e.  ( *Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  e.  (TopOn `  ~H ) )
96, 8mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
10 hlimadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
11 hlimadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
12 hlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
133hhnv 26208 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
14 df-hba 26012 . . . . . . 7  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
153, 13, 14, 5, 7h2hlm 26023 . . . . . 6  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
16 resss 5307 . . . . . 6  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )
1715, 16eqsstri 3529 . . . . 5  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) )
1817ssbri 4498 . . . 4  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) A )
1912, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) A )
20 hlimadd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
2117ssbri 4498 . . . 4  |-  ( G 
~~>v  B  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) B )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) B )
233hhva 26209 . . . . 5  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
245, 7, 23vacn 25730 . . . 4  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  tX  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  Cn  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
2513, 24mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  tX  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
26 hlimadd.7 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
271, 2, 9, 9, 10, 11, 19, 22, 25, 26lmcn2 20275 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) ( A  +h  B
) )
2810ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
~H )
2911ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e. 
~H )
30 hvaddcl 26055 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ~H  /\  ( G `  n )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
)  e.  ~H )
3128, 29, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n ) )  e. 
~H )
3231, 26fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
33 ax-hilex 26042 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
34 nnex 10562 . . . 4  |-  NN  e.  _V
3533, 34elmap 7466 . . 3  |-  ( H  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  H : NN --> ~H )
3632, 35sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ~H 
^m  NN ) )
3715breqi 4462 . . 3  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B ) )
38 ovex 6324 . . . 4  |-  ( A  +h  B )  e. 
_V
3938brres 5290 . . 3  |-  ( H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B )  <->  ( H
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4037, 39bitri 249 . 2  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  ( H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4127, 36, 40sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   1c1 9510   NNcn 10556   *Metcxmt 18529   MetOpencmopn 18534  TopOnctopon 19521    Cn ccn 19851   ~~> tclm 19853    tX ctx 20186   NrmCVeccnv 25603   ~Hchil 25962    +h cva 25963    .h csm 25964   normhcno 25966    -h cmv 25968    ~~>v chli 25970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-lm 19856  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-tms 20950  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-hnorm 26011  df-hba 26012  df-hvsub 26014  df-hlim 26015
This theorem is referenced by:  chscllem4  26684
  Copyright terms: Public domain W3C validator