Theorem znleval 19722

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znleval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem znleval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znle2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3		znle2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4		znle2.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znle2 19721	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
6		relco 5550	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7		relssdmrn 5573	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
9		dmcoss 5306	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ dom ◡𝐹
10		df-rn 5049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
12	1, 11, 2, 3	znf1o 19719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
13		f1ofo 6057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → 𝐹:𝑊–onto→𝑋)
14		forn 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
16	10, 15	syl5eqr 2658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ◡𝐹 = 𝑋)
17	9, 16	syl5sseq 3616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
18		rncoss 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19		rncoss 5307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
20	19, 15	syl5sseq 3616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
21	18, 20	syl5ss 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
22		xpss12 5148	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
23	17, 21, 22	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
24	8, 23	syl5ss 3579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
25	5, 24	eqsstrd 3602	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
26	25	ssbrd 4626	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27		brxp 5071	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
28	26, 27	syl6ib 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)))
29	28	pm4.71rd 665	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
30	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
31	30	breqd 4594	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵))
32		brcog 5210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34		eqcom 2617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ↔ (◡𝐹‘𝐴) = 𝑥)
35	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
36		f1ocnv 6062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
37		f1ofn 6051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹 Fn 𝑋)
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ◡𝐹 Fn 𝑋)
39		simprl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
40		fnbrfvb 6146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
41	38, 39, 40	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
42	34, 41	syl5rbb 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥 = (◡𝐹‘𝐴)))
43	42	anbi1d 737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
44	43	exbidv 1837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
45	33, 44	bitrd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹‘𝐴) ∈ V
47		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
48	46, 47	ceqsexv 3215	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
50		brcog 5210	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
51	46, 49, 50	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
52		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
53		breq2 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
54	52, 53	ceqsexv 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))
55		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐵) = 𝑥)
56		fnbrfvb 6146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
57	38, 49, 56	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
58	55, 57	syl5bb 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
59		vex 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
60		brcnvg 5225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
61	49, 59, 60	sylancl 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
62	58, 61	bitrd 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
63	62	anbi1d 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥)))
64		ancom 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥))
65	63, 64	syl6bbr 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
66	65	exbidv 1837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
67	54, 66	syl5bbr 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
68	51, 67	bitr4d 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
69	48, 68	syl5bb 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
70	31, 45, 69	3bitrd 293	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
71	70	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
72		df-3an 1033	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
73	71, 72	syl6bbr 277	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
74	29, 73	bitrd 267	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  Basecbs 15695  lecple 15775  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674

This theorem is referenced by:  znleval2  19723