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Theorem znleval 18113
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znleval  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 znle2.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
3 znle2.w . . . . . . 7  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
4 znle2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  Y )
51, 2, 3, 4znle2 18112 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
6 relco 5445 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F )
7 relssdmrn 5467 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
9 dmcoss 5208 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  dom  `' F
10 df-rn 4960 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  =  dom  `' F
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  Y
)
121, 11, 2, 3znf1o 18110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
13 f1ofo 5757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  F : W -onto-> X )
14 forn 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  F  =  X )
1610, 15syl5eqr 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  `' F  =  X )
179, 16syl5sseq 3513 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
18 rncoss 5209 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  <_  )
19 rncoss 5209 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( F  o.  <_  )  C_  ran  F
2019, 15syl5sseq 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( F  o.  <_  )  C_  X )
2118, 20syl5ss 3476 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
22 xpss12 5054 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X  /\  ran  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
2317, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
248, 23syl5ss 3476 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( X  X.  X ) )
255, 24eqsstrd 3499 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  C_  ( X  X.  X ) )
2625ssbrd 4442 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  A ( X  X.  X ) B ) )
27 brxp 4979 . . . 4  |-  ( A ( X  X.  X
) B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
2826, 27syl6ib 226 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) ) )
2928pm4.71rd 635 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  .<_  B ) ) )
305adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
) )
3130breqd 4412 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  A (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B ) )
32 brcog 5115 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
34 eqcom 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  <->  ( `' F `  A )  =  x )
3512adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  F : W -1-1-onto-> X )
36 f1ocnv 5762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
37 f1ofn 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F  Fn  X
)
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  `' F  Fn  X )
39 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
40 fnbrfvb 5842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  A )  =  x  <->  A `' F x ) )
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  =  x  <-> 
A `' F x ) )
4234, 41syl5rbb 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A `' F x  <->  x  =  ( `' F `  A ) ) )
4342anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
)  <->  ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B ) ) )
4443exbidv 1681 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( A `' F x  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
4533, 44bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
46 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( `' F `  A )  e.  _V
47 breq1 4404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  ->  (
x ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B ) )
4846, 47ceqsexv 3115 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B )
49 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
50 brcog 5115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  A )  e.  _V  /\  B  e.  X )  ->  ( ( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
5146, 49, 50sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
52 fvex 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F `  B )  e.  _V
53 breq2 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  ->  (
( `' F `  A )  <_  x  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
5452, 53ceqsexv 3115 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )
55 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  <->  ( `' F `  B )  =  x )
56 fnbrfvb 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  B )  =  x  <->  B `' F x ) )
5738, 49, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  B )  =  x  <-> 
B `' F x ) )
5855, 57syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
B `' F x ) )
59 vex 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
60 brcnvg 5129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  x  e.  _V )  ->  ( B `' F x 
<->  x F B ) )
6149, 59, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( B `' F x  <->  x F B ) )
6258, 61bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
x F B ) )
6362anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x ) ) )
64 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B )  <-> 
( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x
) )
6563, 64syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6665exbidv 1681 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  E. x
( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6754, 66syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B )  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6851, 67bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
6948, 68syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7031, 45, 693bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7170pm5.32da 641 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
72 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7371, 72syl6bbr 263 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
7429, 73bitrd 253 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   ifcif 3900   class class class wbr 4401    X. cxp 4947   `'ccnv 4948   dom cdm 4949   ran crn 4950    |` cres 4951    o. ccom 4953   Rel wrel 4954    Fn wfn 5522   -onto->wfo 5525   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394    <_ cle 9531   NN0cn0 10691   ZZcz 10758  ..^cfzo 11666   Basecbs 14293   lecple 14365   ZRHomczrh 18057  ℤ/nczn 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-dvds 13655  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-imas 14566  df-divs 14567  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-nsg 15799  df-eqg 15800  df-ghm 15865  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-rnghom 16930  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-lidl 17379  df-rsp 17380  df-2idl 17438  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-zn 18064
This theorem is referenced by:  znleval2  18114
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