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Theorem znleval 19123
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znleval  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 znle2.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
3 znle2.w . . . . . . 7  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
4 znle2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  Y )
51, 2, 3, 4znle2 19122 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
6 relco 5352 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F )
7 relssdmrn 5375 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
9 dmcoss 5113 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  dom  `' F
10 df-rn 4864 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  =  dom  `' F
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  Y
)
121, 11, 2, 3znf1o 19120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
13 f1ofo 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  F : W -onto-> X )
14 forn 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  F  =  X )
1610, 15syl5eqr 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  `' F  =  X )
179, 16syl5sseq 3512 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
18 rncoss 5114 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  <_  )
19 rncoss 5114 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( F  o.  <_  )  C_  ran  F
2019, 15syl5sseq 3512 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( F  o.  <_  )  C_  X )
2118, 20syl5ss 3475 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
22 xpss12 4959 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X  /\  ran  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
2317, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
248, 23syl5ss 3475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( X  X.  X ) )
255, 24eqsstrd 3498 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  C_  ( X  X.  X ) )
2625ssbrd 4465 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  A ( X  X.  X ) B ) )
27 brxp 4884 . . . 4  |-  ( A ( X  X.  X
) B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
2826, 27syl6ib 229 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) ) )
2928pm4.71rd 639 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  .<_  B ) ) )
305adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
) )
3130breqd 4434 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  A (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B ) )
32 brcog 5020 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
3332adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
34 eqcom 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  <->  ( `' F `  A )  =  x )
3512adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  F : W -1-1-onto-> X )
36 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
37 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F  Fn  X
)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  `' F  Fn  X )
39 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
40 fnbrfvb 5921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  A )  =  x  <->  A `' F x ) )
4138, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  =  x  <-> 
A `' F x ) )
4234, 41syl5rbb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A `' F x  <->  x  =  ( `' F `  A ) ) )
4342anbi1d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
)  <->  ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B ) ) )
4443exbidv 1762 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( A `' F x  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
4533, 44bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
46 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( `' F `  A )  e.  _V
47 breq1 4426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  ->  (
x ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B ) )
4846, 47ceqsexv 3118 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B )
49 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
50 brcog 5020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  A )  e.  _V  /\  B  e.  X )  ->  ( ( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
5146, 49, 50sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
52 fvex 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F `  B )  e.  _V
53 breq2 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  ->  (
( `' F `  A )  <_  x  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
5452, 53ceqsexv 3118 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )
55 eqcom 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  <->  ( `' F `  B )  =  x )
56 fnbrfvb 5921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  B )  =  x  <->  B `' F x ) )
5738, 49, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  B )  =  x  <-> 
B `' F x ) )
5855, 57syl5bb 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
B `' F x ) )
59 vex 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
60 brcnvg 5034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  x  e.  _V )  ->  ( B `' F x 
<->  x F B ) )
6149, 59, 60sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( B `' F x  <->  x F B ) )
6258, 61bitrd 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
x F B ) )
6362anbi1d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x ) ) )
64 ancom 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B )  <-> 
( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x
) )
6563, 64syl6bbr 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6665exbidv 1762 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  E. x
( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6754, 66syl5bbr 262 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B )  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6851, 67bitr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
6948, 68syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7031, 45, 693bitrd 282 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7170pm5.32da 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
72 df-3an 984 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7371, 72syl6bbr 266 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
7429, 73bitrd 256 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   ifcif 3911   class class class wbr 4423    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857   Rel wrel 4858    Fn wfn 5596   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9546    <_ cle 9683   NN0cn0 10876   ZZcz 10944  ..^cfzo 11922   Basecbs 15120   lecple 15196   ZRHomczrh 19069  ℤ/nczn 19072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-dvds 14305  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-imas 15406  df-qus 15408  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-nsg 16814  df-eqg 16815  df-ghm 16880  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-rnghom 17942  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-lidl 18396  df-rsp 18397  df-2idl 18455  df-cnfld 18970  df-zring 19038  df-zrh 19073  df-zn 19076
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