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Theorem znleval 19202
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znleval  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 znle2.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
3 znle2.w . . . . . . 7  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
4 znle2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  Y )
51, 2, 3, 4znle2 19201 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
6 relco 5340 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F )
7 relssdmrn 5363 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
9 dmcoss 5100 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  dom  `' F
10 df-rn 4850 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  =  dom  `' F
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  Y
)
121, 11, 2, 3znf1o 19199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
13 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  F : W -onto-> X )
14 forn 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  F  =  X )
1610, 15syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  `' F  =  X )
179, 16syl5sseq 3466 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
18 rncoss 5101 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  <_  )
19 rncoss 5101 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( F  o.  <_  )  C_  ran  F
2019, 15syl5sseq 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( F  o.  <_  )  C_  X )
2118, 20syl5ss 3429 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
22 xpss12 4945 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X  /\  ran  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
2317, 21, 22syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
248, 23syl5ss 3429 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( X  X.  X ) )
255, 24eqsstrd 3452 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  C_  ( X  X.  X ) )
2625ssbrd 4437 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  A ( X  X.  X ) B ) )
27 brxp 4870 . . . 4  |-  ( A ( X  X.  X
) B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
2826, 27syl6ib 234 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) ) )
2928pm4.71rd 647 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  .<_  B ) ) )
305adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
) )
3130breqd 4406 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  A (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B ) )
32 brcog 5006 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
3332adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
34 eqcom 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  <->  ( `' F `  A )  =  x )
3512adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  F : W -1-1-onto-> X )
36 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
37 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F  Fn  X
)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  `' F  Fn  X )
39 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
40 fnbrfvb 5919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  A )  =  x  <->  A `' F x ) )
4138, 39, 40syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  =  x  <-> 
A `' F x ) )
4234, 41syl5rbb 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A `' F x  <->  x  =  ( `' F `  A ) ) )
4342anbi1d 719 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
)  <->  ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B ) ) )
4443exbidv 1776 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( A `' F x  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
4533, 44bitrd 261 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
46 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( `' F `  A )  e.  _V
47 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  ->  (
x ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B ) )
4846, 47ceqsexv 3070 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B )
49 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
50 brcog 5006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  A )  e.  _V  /\  B  e.  X )  ->  ( ( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
5146, 49, 50sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
52 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F `  B )  e.  _V
53 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  ->  (
( `' F `  A )  <_  x  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
5452, 53ceqsexv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )
55 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  <->  ( `' F `  B )  =  x )
56 fnbrfvb 5919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  B )  =  x  <->  B `' F x ) )
5738, 49, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  B )  =  x  <-> 
B `' F x ) )
5855, 57syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
B `' F x ) )
59 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
60 brcnvg 5020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  x  e.  _V )  ->  ( B `' F x 
<->  x F B ) )
6149, 59, 60sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( B `' F x  <->  x F B ) )
6258, 61bitrd 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
x F B ) )
6362anbi1d 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x ) ) )
64 ancom 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B )  <-> 
( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x
) )
6563, 64syl6bbr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6665exbidv 1776 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  E. x
( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6754, 66syl5bbr 267 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B )  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6851, 67bitr4d 264 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
6948, 68syl5bb 265 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7031, 45, 693bitrd 287 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7170pm5.32da 653 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
72 df-3an 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7371, 72syl6bbr 271 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
7429, 73bitrd 261 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   Rel wrel 4844    Fn wfn 5584   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557    <_ cle 9694   NN0cn0 10893   ZZcz 10961  ..^cfzo 11942   Basecbs 15199   lecple 15275   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155
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