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Theorem znleval 18353
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znleval  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 znle2.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
3 znle2.w . . . . . . 7  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
4 znle2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  Y )
51, 2, 3, 4znle2 18352 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
6 relco 5496 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F )
7 relssdmrn 5519 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
9 dmcoss 5253 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  dom  `' F
10 df-rn 5003 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  =  dom  `' F
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  Y
)
121, 11, 2, 3znf1o 18350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
13 f1ofo 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  F : W -onto-> X )
14 forn 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  F  =  X )
1610, 15syl5eqr 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  `' F  =  X )
179, 16syl5sseq 3545 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
18 rncoss 5254 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  <_  )
19 rncoss 5254 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( F  o.  <_  )  C_  ran  F
2019, 15syl5sseq 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( F  o.  <_  )  C_  X )
2118, 20syl5ss 3508 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
22 xpss12 5099 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X  /\  ran  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
2317, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
248, 23syl5ss 3508 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( X  X.  X ) )
255, 24eqsstrd 3531 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  C_  ( X  X.  X ) )
2625ssbrd 4481 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  A ( X  X.  X ) B ) )
27 brxp 5022 . . . 4  |-  ( A ( X  X.  X
) B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
2826, 27syl6ib 226 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) ) )
2928pm4.71rd 635 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  .<_  B ) ) )
305adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
) )
3130breqd 4451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  A (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B ) )
32 brcog 5160 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
34 eqcom 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  <->  ( `' F `  A )  =  x )
3512adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  F : W -1-1-onto-> X )
36 f1ocnv 5819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
37 f1ofn 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F  Fn  X
)
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  `' F  Fn  X )
39 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
40 fnbrfvb 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  A )  =  x  <->  A `' F x ) )
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  =  x  <-> 
A `' F x ) )
4234, 41syl5rbb 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A `' F x  <->  x  =  ( `' F `  A ) ) )
4342anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
)  <->  ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B ) ) )
4443exbidv 1685 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( A `' F x  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
4533, 44bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
46 fvex 5867 . . . . . . 7  |-  ( `' F `  A )  e.  _V
47 breq1 4443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  ->  (
x ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B ) )
4846, 47ceqsexv 3143 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B )
49 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
50 brcog 5160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  A )  e.  _V  /\  B  e.  X )  ->  ( ( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
5146, 49, 50sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
52 fvex 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F `  B )  e.  _V
53 breq2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  ->  (
( `' F `  A )  <_  x  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
5452, 53ceqsexv 3143 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )
55 eqcom 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  <->  ( `' F `  B )  =  x )
56 fnbrfvb 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  B )  =  x  <->  B `' F x ) )
5738, 49, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  B )  =  x  <-> 
B `' F x ) )
5855, 57syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
B `' F x ) )
59 vex 3109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
60 brcnvg 5174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  x  e.  _V )  ->  ( B `' F x 
<->  x F B ) )
6149, 59, 60sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( B `' F x  <->  x F B ) )
6258, 61bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
x F B ) )
6362anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x ) ) )
64 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B )  <-> 
( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x
) )
6563, 64syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6665exbidv 1685 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  E. x
( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6754, 66syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B )  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6851, 67bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
6948, 68syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7031, 45, 693bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7170pm5.32da 641 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
72 df-3an 970 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7371, 72syl6bbr 263 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
7429, 73bitrd 253 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   ifcif 3932   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993    |` cres 4994    o. ccom 4996   Rel wrel 4997    Fn wfn 5574   -onto->wfo 5577   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481    <_ cle 9618   NN0cn0 10784   ZZcz 10853  ..^cfzo 11781   Basecbs 14479   lecple 14551   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-dvds 13837  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304
This theorem is referenced by:  znleval2  18354
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