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Theorem znleval 18781
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
znleval.x  |-  X  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znleval  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znle2.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 znle2.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
3 znle2.w . . . . . . 7  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
4 znle2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  Y )
51, 2, 3, 4znle2 18780 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
6 relco 5440 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F )
7 relssdmrn 5463 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
9 dmcoss 5202 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  dom  `' F
10 df-rn 4951 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  =  dom  `' F
11 znleval.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  Y
)
121, 11, 2, 3znf1o 18778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> X )
13 f1ofo 5760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  F : W -onto-> X )
14 forn 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -onto-> X  ->  ran  F  =  X )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  F  =  X )
1610, 15syl5eqr 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  `' F  =  X )
179, 16syl5sseq 3487 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  dom  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
18 rncoss 5203 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  ran  ( F  o.  <_  )
19 rncoss 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( F  o.  <_  )  C_  ran  F
2019, 15syl5sseq 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( F  o.  <_  )  C_  X )
2118, 20syl5ss 3450 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) 
C_  X )
22 xpss12 5048 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X  /\  ran  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  X
)  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
2317, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( dom  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
)  X.  ran  (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )  C_  ( X  X.  X ) )
248, 23syl5ss 3450 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F )  C_  ( X  X.  X ) )
255, 24eqsstrd 3473 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  C_  ( X  X.  X ) )
2625ssbrd 4433 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  A ( X  X.  X ) B ) )
27 brxp 4971 . . . 4  |-  ( A ( X  X.  X
) B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )
2826, 27syl6ib 226 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) ) )
2928pm4.71rd 633 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  .<_  B ) ) )
305adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F
) )
3130breqd 4403 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  A (
( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B ) )
32 brcog 5109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
3332adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
34 eqcom 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  <->  ( `' F `  A )  =  x )
3512adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  F : W -1-1-onto-> X )
36 f1ocnv 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : W -1-1-onto-> X  ->  `' F : X -1-1-onto-> W )
37 f1ofn 5754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : X -1-1-onto-> W  ->  `' F  Fn  X
)
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  `' F  Fn  X )
39 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
40 fnbrfvb 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  A )  =  x  <->  A `' F x ) )
4138, 39, 40syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  =  x  <-> 
A `' F x ) )
4234, 41syl5rbb 258 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A `' F x  <->  x  =  ( `' F `  A ) ) )
4342anbi1d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A `' F x  /\  x ( F  o.  <_  ) B
)  <->  ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B ) ) )
4443exbidv 1733 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( A `' F x  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
4533, 44bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) B  <->  E. x
( x  =  ( `' F `  A )  /\  x ( F  o.  <_  ) B
) ) )
46 fvex 5813 . . . . . . 7  |-  ( `' F `  A )  e.  _V
47 breq1 4395 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' F `  A )  ->  (
x ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B ) )
4846, 47ceqsexv 3093 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )
( F  o.  <_  ) B )
49 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
50 brcog 5109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F `  A )  e.  _V  /\  B  e.  X )  ->  ( ( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
5146, 49, 50sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
52 fvex 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F `  B )  e.  _V
53 breq2 4396 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  ->  (
( `' F `  A )  <_  x  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
5452, 53ceqsexv 3093 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )
55 eqcom 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' F `  B )  <->  ( `' F `  B )  =  x )
56 fnbrfvb 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F  Fn  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( `' F `  B )  =  x  <->  B `' F x ) )
5738, 49, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  B )  =  x  <-> 
B `' F x ) )
5855, 57syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
B `' F x ) )
59 vex 3059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
60 brcnvg 5123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  X  /\  x  e.  _V )  ->  ( B `' F x 
<->  x F B ) )
6149, 59, 60sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( B `' F x  <->  x F B ) )
6258, 61bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
x  =  ( `' F `  B )  <-> 
x F B ) )
6362anbi1d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x ) ) )
64 ancom 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B )  <-> 
( x F B  /\  ( `' F `  A )  <_  x
) )
6563, 64syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x
)  <->  ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6665exbidv 1733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  B )  /\  ( `' F `  A )  <_  x )  <->  E. x
( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6754, 66syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B )  <->  E. x ( ( `' F `  A )  <_  x  /\  x F B ) ) )
6851, 67bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  A ) ( F  o.  <_  ) B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
6948, 68syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( E. x ( x  =  ( `' F `  A )  /\  x
( F  o.  <_  ) B )  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7031, 45, 693bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A  .<_  B  <->  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7170pm5.32da 639 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
72 df-3an 974 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) )  <->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) )
7371, 72syl6bbr 263 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A  .<_  B )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
7429, 73bitrd 253 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A 
.<_  B  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  ( `' F `  A )  <_  ( `' F `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   ifcif 3882   class class class wbr 4392    X. cxp 4938   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   ran crn 4941    |` cres 4942    o. ccom 4944   Rel wrel 4945    Fn wfn 5518   -onto->wfo 5521   -1-1-onto->wf1o 5522   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   0cc0 9440    <_ cle 9577   NN0cn0 10754   ZZcz 10823  ..^cfzo 11765   Basecbs 14731   lecple 14806   ZRHomczrh 18727  ℤ/nczn 18730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-ec 7268  df-qs 7272  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-dvds 14086  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-imas 15012  df-qus 15013  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-nsg 16413  df-eqg 16414  df-ghm 16479  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-rnghom 17574  df-subrg 17637  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lsp 17828  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-lidl 18030  df-rsp 18031  df-2idl 18090  df-cnfld 18631  df-zring 18699  df-zrh 18731  df-zn 18734
This theorem is referenced by:  znleval2  18782
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