Theorem brxp 5071

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4584	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5070	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 263	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044

This theorem is referenced by:  brrelex12  5079  brel  5090  brinxp2  5103  eqbrrdva  5213  ssrelrn  5237  xpidtr  5437  xpco  5592  isocnv3  6482  tpostpos  7259  swoer  7659  erinxp  7708  ecopover  7738  ecopoverOLD  7739  infxpenlem  8719  fpwwe2lem6  9336  fpwwe2lem7  9337  fpwwe2lem9  9339  fpwwe2lem12  9342  fpwwe2lem13  9343  fpwwe2  9344  ltxrlt  9987  ltxr  11825  xpcogend  13561  xpsfrnel2  16048  invfuc  16457  elhoma  16505  efglem  17952  gsumdixp  18432  gsumbagdiag  19197  psrass1lem  19198  opsrtoslem2  19306  znleval  19722  gsumcom3fi  20025  brelg  28801  posrasymb  28988  trleile  28997  metider  29265  mclsppslem  30734  dfpo2  30898  dfon3  31169  brbigcup  31175  brsingle  31194  brimage  31203  brcart  31209  brapply  31215  brcup  31216  brcap  31217  funpartlem  31219  dfrdg4  31228  brub  31231  itg2gt0cn  32635