MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brxp Structured version   Unicode version

Theorem brxp 4977
Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
brxp  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )

Proof of Theorem brxp
StepHypRef Expression
1 df-br 4400 . 2  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D ) )
2 opelxp 4976 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
31, 2bitri 249 1  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   <.cop 3990   class class class wbr 4399    X. cxp 4945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-br 4400  df-opab 4458  df-xp 4953
This theorem is referenced by:  brrelex12  4983  brel  4994  brinxp2  5007  eqbrrdva  5116  xpidtr  5327  xpco  5484  isocnv3  6131  tpostpos  6874  swoer  7238  erinxp  7283  ecopover  7313  dfsup2OLD  7803  infxpenlem  8290  fpwwe2lem6  8912  fpwwe2lem7  8913  fpwwe2lem9  8915  fpwwe2lem12  8918  fpwwe2lem13  8919  fpwwe2  8920  ltxrlt  9555  ltxr  11205  xpsfrnel2  14621  invfuc  15002  elhoma  15018  efglem  16333  gsumdixpOLD  16822  gsumdixp  16823  gsumbagdiag  17568  psrass1lem  17569  opsrtoslem2  17689  znleval  18111  gsumcom3fi  18424  brelg  26091  posrasymb  26262  trleile  26271  metider  26465  dfpo2  27708  dfon3  28066  brbigcup  28072  brsingle  28091  brimage  28100  brcart  28106  brapply  28112  brcup  28113  brcap  28114  funpartlem  28116  dfrdg4  28124  brub  28128  itg2gt0cn  28594
  Copyright terms: Public domain W3C validator