MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brxp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem brxp 4883
Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
brxp  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )

Proof of Theorem brxp
StepHypRef Expression
1 df-br 4416 . 2  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D ) )
2 opelxp 4882 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
31, 2bitri 257 1  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    e. wcel 1897   <.cop 3985   class class class wbr 4415    X. cxp 4850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-br 4416  df-opab 4475  df-xp 4858
This theorem is referenced by:  brrelex12  4890  brel  4901  brinxp2  4914  eqbrrdva  5022  xpidtr  5240  xpco  5394  isocnv3  6247  tpostpos  7018  swoer  7416  erinxp  7462  ecopover  7492  infxpenlem  8469  fpwwe2lem6  9085  fpwwe2lem7  9086  fpwwe2lem9  9088  fpwwe2lem12  9091  fpwwe2lem13  9092  fpwwe2  9093  ltxrlt  9729  ltxr  11443  xpcogend  13086  xpsfrnel2  15519  invfuc  15927  elhoma  15975  efglem  17414  gsumdixp  17885  gsumbagdiag  18648  psrass1lem  18649  opsrtoslem2  18756  znleval  19173  gsumcom3fi  19473  brelg  28265  posrasymb  28466  trleile  28475  metider  28745  mclsppslem  30269  dfpo2  30443  dfon3  30707  brbigcup  30713  brsingle  30732  brimage  30741  brcart  30747  brapply  30753  brcup  30754  brcap  30755  funpartlem  30757  dfrdg4  30766  brub  30769  itg2gt0cn  32041  ssrelrn  39051
  Copyright terms: Public domain W3C validator