MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brxp Structured version   Unicode version

Theorem brxp 4865
Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
brxp  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )

Proof of Theorem brxp
StepHypRef Expression
1 df-br 4288 . 2  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D ) )
2 opelxp 4864 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
31, 2bitri 249 1  |-  ( A ( C  X.  D
) B  <->  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   <.cop 3878   class class class wbr 4287    X. cxp 4833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-br 4288  df-opab 4346  df-xp 4841
This theorem is referenced by:  brrelex12  4871  brel  4882  brinxp2  4895  eqbrrdva  5004  xpidtr  5215  xpco  5372  isocnv3  6018  tpostpos  6760  swoer  7121  erinxp  7166  ecopover  7196  dfsup2OLD  7685  infxpenlem  8172  fpwwe2lem6  8794  fpwwe2lem7  8795  fpwwe2lem9  8797  fpwwe2lem12  8800  fpwwe2lem13  8801  fpwwe2  8802  ltxrlt  9437  ltxr  11087  xpsfrnel2  14495  invfuc  14876  elhoma  14892  efglem  16204  gsumdixpOLD  16688  gsumdixp  16689  gsumbagdiag  17423  psrass1lem  17424  opsrtoslem2  17541  znleval  17962  gsumcom3fi  18275  brelg  25892  posrasymb  26069  trleile  26078  metider  26273  dfpo2  27516  dfon3  27874  brbigcup  27880  brsingle  27899  brimage  27908  brcart  27914  brapply  27920  brcup  27921  brcap  27922  funpartlem  27924  dfrdg4  27932  brub  27936  itg2gt0cn  28400
  Copyright terms: Public domain W3C validator