Theorem wlkonwlk 26065

Description: A walk is a walk between its endpoints. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wlkonwlk	⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
2		eqidd 2611	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3		eqidd 2611	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
4		wlkbprop 26051	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
5	4	simp2d 1067	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
6	4	simp3d 1068	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
7		2mwlk 26049	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
8		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
9		lencl 13179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
10		0nn0 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
12		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		nn0ge0 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (#‘𝐹))
14	11, 12, 13	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
17		elfz2nn0 12300	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (#‘𝐹)))
18	16, 17	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
19	8, 18	ffvelrnd 6268	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
20		nn0re 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
21	20	leidd 10473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹))
22	12, 12, 21	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
23	9, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
25		elfz2nn0 12300	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≤ (#‘𝐹)))
26	24, 25	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
27	8, 26	ffvelrnd 6268	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉)
28	19, 27	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉))
29	7, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉))
30		iswlkon 26062	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ 𝑉)) → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
31	5, 6, 29, 30	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
32	1, 2, 3, 31	mpbir3and 1238	1 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026   WalkOn cwlkon 26030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-wlkon 26042

This theorem is referenced by:  cyclispthon  26161