Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyclispthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyclispthon 26161
 Description: A cycle is a path starting and ending at its first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
cyclispthon (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃)

Proof of Theorem cyclispthon
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 26160 . . . . 5 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
2 wlkonwlk 26065 . . . . 5 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
4 wlkbprop 26051 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
6 iscycl 26153 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
7 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
86, 7syl6bi 242 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
983adant1 1072 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
105, 9mpcom 37 . . . . . 6 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
1110oveq2d 6565 . . . . 5 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0)) = ((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹))))
1211breqd 4594 . . . 4 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃))
133, 12mpbird 246 . . 3 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃)
14 cyclispth 26157 . . 3 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)
1513, 14jca 553 . 2 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃))
16 simpl2 1058 . . . . 5 ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
17 simpl3 1059 . . . . 5 ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
18 2mwlk 26049 . . . . . . . . 9 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
19 0elfz 12305 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
2019anim2i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
21 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
22 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
2322, 22jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
2420, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
2524ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
2718, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
2827com12 32 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
29283ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
3029imp 444 . . . . 5 ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
3116, 17, 303jca 1235 . . . 4 ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
324, 31mpancom 700 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
33 ispthon 26106 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)) → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)))
341, 32, 333syl 18 . 2 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)))
3515, 34mpbird 246 1 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026   Paths cpath 26028   WalkOn cwlkon 26030   PathOn cpthon 26032   Cycles ccycl 26035 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-cycl 26041  df-wlkon 26042  df-pthon 26044 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator