Theorem cyclispthon 26161

Description: A cycle is a path starting and ending at its first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cyclispthon	⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃)

Proof of Theorem cyclispthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 26160	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
2		wlkonwlk 26065	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃)
4		wlkbprop 26051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
6		iscycl 26153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
7		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
8	6, 7	syl6bi 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
9	8	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
10	5, 9	mpcom 37	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
11	10	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0)) = ((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹))))
12	11	breqd 4594	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ↔ 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘(#‘𝐹)))𝑃))
13	3, 12	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃)
14		cyclispth 26157	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)
15	13, 14	jca 553	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃))
16		simpl2 1058	. . . . 5 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
17		simpl3 1059	. . . . 5 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
18		2mwlk 26049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
19		0elfz 12305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
20	19	anim2i 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
21		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
22		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
23	22, 22	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
24	20, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
25	24	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
27	18, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
28	27	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
29	28	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
30	29	imp 444	. . . . 5 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
31	16, 17, 30	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
32	4, 31	mpancom 700	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)))
33		ispthon 26106	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉)) → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)))
34	1, 32, 33	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(𝑉 WalkOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)))
35	15, 34	mpbird 246	1 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(𝑉 PathOn 𝐸)(𝑃‘0))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026   Paths cpath 26028   WalkOn cwlkon 26030   PathOn cpthon 26032   Cycles ccycl 26035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-cycl 26041  df-wlkon 26042  df-pthon 26044

This theorem is referenced by: (None)