Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyclispthon Structured version   Unicode version

Theorem cyclispthon 23672
 Description: A cycle is a path starting and ending at its first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
cyclispthon Cycles PathOn

Proof of Theorem cyclispthon
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 23671 . . . . 5 Cycles Walks
2 wlkonwlk 23587 . . . . 5 Walks WalkOn
31, 2syl 16 . . . 4 Cycles WalkOn
4 wlkbprop 23586 . . . . . . . 8 Walks
51, 4syl 16 . . . . . . 7 Cycles
6 iscycl 23664 . . . . . . . . 9 Cycles Paths
7 simpr 461 . . . . . . . . 9 Paths
86, 7syl6bi 228 . . . . . . . 8 Cycles
983adant1 1006 . . . . . . 7 Cycles
105, 9mpcom 36 . . . . . 6 Cycles
1110oveq2d 6217 . . . . 5 Cycles WalkOn WalkOn
1211breqd 4412 . . . 4 Cycles WalkOn WalkOn
133, 12mpbird 232 . . 3 Cycles WalkOn
14 cyclispth 23668 . . 3 Cycles Paths
1513, 14jca 532 . 2 Cycles WalkOn Paths
16 simpl2 992 . . . . 5 Walks
17 simpl3 993 . . . . 5 Walks
18 2mwlk 23580 . . . . . . . . 9 Walks Word
19 0nn0 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
22 nn0ge0 10717 . . . . . . . . . . . . . 14
23 elfz2nn0 11598 . . . . . . . . . . . . . 14
2420, 21, 22, 23syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13
2524anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12
26 ffvelrn 5951 . . . . . . . . . . . 12
27 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
2827, 27jca 532 . . . . . . . . . . . 12
2925, 26, 283syl 20 . . . . . . . . . . 11
3029ex 434 . . . . . . . . . 10
3130adantl 466 . . . . . . . . 9 Word
3218, 31syl 16 . . . . . . . 8 Walks
3332com12 31 . . . . . . 7 Walks
34333ad2ant1 1009 . . . . . 6 Walks
3534imp 429 . . . . 5 Walks
3616, 17, 353jca 1168 . . . 4 Walks
374, 36mpancom 669 . . 3 Walks
38 ispthon 23628 . . 3 PathOn WalkOn Paths
391, 37, 383syl 20 . 2 Cycles PathOn WalkOn Paths
4015, 39mpbird 232 1 Cycles PathOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3078   class class class wbr 4401   cdm 4949  wf 5523  cfv 5527  (class class class)co 6201  cc0 9394   cle 9531  cn0 10691  cfz 11555  chash 12221  Word cword 12340   Walks cwalk 23558   Paths cpath 23560   WalkOn cwlkon 23562   PathOn cpthon 23564   Cycles ccycl 23567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-wlk 23568  df-trail 23569  df-pth 23570  df-cycl 23573  df-wlkon 23574  df-pthon 23576 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator