Theorem tskcard 9482

Description: An even more direct relationship than r1tskina 9483 to get an inaccessible cardinal out of a Tarski class: the size of any nonempty Tarski class is an inaccessible cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskcard	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Proof of Theorem tskcard

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardeq0 9253	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) = ∅ ↔ 𝑇 = ∅))
2	1	necon3bid 2826	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ≠ ∅ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
3	2	biimpar 501	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≠ ∅)
4		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})) ↦ (har‘(𝑤‘𝑧)))
5	4	pwcfsdom 9284	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑𝑚 (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
6		vpwex 4775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
7	6	canth2 7998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥
8		simpl 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ∈ Tarski)
9		cardon 8653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (card‘𝑇) ∈ On
10	9	oneli 5752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ On)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ On)
12		cardsdomelir 8682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
14		tskord 9481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
15	8, 11, 13, 14	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16		tskpw 9454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
17		tskpwss 9453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
18	16, 17	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
19	15, 18	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇)
20		ssdomg 7887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝒫 𝒫 𝑥 ⊆ 𝑇 → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇))
21	8, 19, 20	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇)
22		cardidg 9249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
23	22	ensymd 7893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
25		domentr 7901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 𝒫 𝑥 ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
26	21, 24, 25	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇))
27		sdomdomtr 7978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 𝑥 ≺ 𝒫 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝒫 𝑥 ≼ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
28	7, 26, 27	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ (card‘𝑇)) → 𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
29	28	ralrimiva 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
31		inawinalem 9390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ On → (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦))
32	9, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇) → ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦)
33		winainflem 9394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (card‘𝑇) ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
34	9, 33	mp3an2 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)∃𝑦 ∈ (card‘𝑇)𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ (card‘𝑇))
35	32, 34	sylan2 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → ω ⊆ (card‘𝑇))
36	3, 30, 35	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ⊆ (card‘𝑇))
37		cardidm 8668	. . . . . . 7 ⊢ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)
38		cardaleph 8795	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
39	36, 37, 38	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) = (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))
40	39	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))
41	39, 40	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) = ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑𝑚 (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}))))
42	39, 41	breq12d 4596	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ↔ (ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ≺ ((ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)}) ↑𝑚 (cf‘(ℵ‘∩ {𝑥 ∈ On ∣ (card‘𝑇) ⊆ (ℵ‘𝑥)})))))
43	5, 42	mpbiri 247	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
44		simp1 1054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Tarski)
45		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
46		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (card‘𝑇) ∈ V
47		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V
48	46, 47	elmap 7772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ↔ 𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇))
49		fssxp 5973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
50	48, 49	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)))
51	15	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ (card‘𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇))
52	51	ssrdv 3574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ⊆ 𝑇)
53		cfle 8959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇)
54		sstr 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
55	53, 54	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
56		tskxpss 9473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 ∧ (card‘𝑇) ⊆ 𝑇) → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
57	56	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
58	57	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)))
59	55, 58	mpdi 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((card‘𝑇) ⊆ 𝑇 → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇)
61		sstr2 3575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ ((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) → (((cf‘(card‘𝑇)) × (card‘𝑇)) ⊆ 𝑇 → 𝑥 ⊆ 𝑇))
62	50, 60, 61	syl2im 39	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑇 ∈ Tarski → 𝑥 ⊆ 𝑇))
63	45, 44, 62	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ⊆ 𝑇)
64		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
65		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → 𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)))
66		fndmeng 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 Fn (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ V) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
67	65, 47, 66	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥:(cf‘(card‘𝑇))⟶(card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
68	48, 67	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → (cf‘(card‘𝑇)) ≈ 𝑥)
69	68	ensymd 7893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)))
70		cardsdomelir 8682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇)
71		ensdomtr 7981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ≈ (cf‘(card‘𝑇)) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ≺ 𝑇) → 𝑥 ≺ 𝑇)
72	69, 70, 71	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ 𝑇)
73	45, 64, 72	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ≺ 𝑇)
74		tskssel 9458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑥 ≺ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
75	44, 63, 73, 74	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
76	75	3expia 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → (𝑥 ∈ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) → 𝑥 ∈ 𝑇))
77	76	ssrdv 3574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇)
78		ssdomg 7887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇 → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇))
79	78	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ⊆ 𝑇) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
80	77, 79	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇)
81	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
82		domentr 7901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
83	80, 81, 82	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇))
84		domnsym 7971	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))) ≼ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇)) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇))))
86	85	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))))
87	86	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → ¬ (card‘𝑇) ≺ ((card‘𝑇) ↑𝑚 (cf‘(card‘𝑇)))))
88	43, 87	mt2d 130	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇))
89		cfon 8960	. . . . . 6 ⊢ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ On
90	89, 9	onsseli 5759	. . . . 5 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇)))
91	53, 90	mpbi 219	. . . 4 ⊢ ((cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) ∨ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
92	91	ori 389	. . 3 ⊢ (¬ (cf‘(card‘𝑇)) ∈ (card‘𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
93	88, 92	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
94		elina 9388	. 2 ⊢ ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
95	3, 93, 30, 94	syl3anbrc 1239	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ↑_𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  harchar 8344  cardccrd 8644  ℵcale 8645  cfccf 8646  Inacccina 9384  Tarskictsk 9449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-smo 7330  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-har 8346  df-r1 8510  df-card 8648  df-aleph 8649  df-cf 8650  df-acn 8651  df-ac 8822  df-ina 9386  df-tsk 9450

This theorem is referenced by:  r1tskina  9483  tskuni  9484  inaprc  9537