Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaprc 9537
 Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9391 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 winaon 9389 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
43ssriv 3572 . . . 4 Inacc ⊆ On
5 ssorduni 6877 . . . 4 (Inacc ⊆ On → Ord Inacc)
6 ordsson 6881 . . . 4 (Ord Inacc → Inacc ⊆ On)
74, 5, 6mp2b 10 . . 3 Inacc ⊆ On
8 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
9 grothtsk 9536 . . . . . . . 8 Tarski = V
108, 9eleqtrri 2687 . . . . . . 7 𝑦 Tarski
11 eluni2 4376 . . . . . . 7 (𝑦 Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤)
1210, 11mpbi 219 . . . . . 6 𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤
13 ne0i 3880 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑤𝑤 ≠ ∅)
14 tskcard 9482 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
1513, 14sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
17 tsksdom 9457 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦𝑤)
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → 𝑦𝑤)
19 tskwe2 9474 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
21 cardsdomel 8683 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2220, 21sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2318, 22mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
24 eleq2 2677 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
2524rspcev 3282 . . . . . . . 8 (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
2616, 23, 25syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
2726rexlimdvaa 3014 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧))
2812, 27mpi 20 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
29 eluni2 4376 . . . . 5 (𝑦 Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦𝑧)
3028, 29sylibr 223 . . . 4 (𝑦 ∈ On → 𝑦 Inacc)
3130ssriv 3572 . . 3 On ⊆ Inacc
327, 31eqssi 3584 . 2 Inacc = On
33 ssonprc 6884 . . 3 (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ Inacc = On))
344, 33ax-mp 5 . 2 (Inacc ∉ V ↔ Inacc = On)
3532, 34mpbir 220 1 Inacc ∉ V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640  ‘cfv 5804   ≺ csdm 7840  cardccrd 8644  Inaccwcwina 9383  Inacccina 9384  Tarskictsk 9449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-groth 9524 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-smo 7330  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-har 8346  df-r1 8510  df-card 8648  df-aleph 8649  df-cf 8650  df-acn 8651  df-ac 8822  df-wina 9385  df-ina 9386  df-tsk 9450 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator