Theorem inaprc 8999

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	|- Inacc e/ _V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 8853	. . . . . 6 |- ( x e. Inacc -> x e. InaccW )
2		winaon 8851	. . . . . 6 |- ( x e. InaccW -> x e. On )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. Inacc -> x e. On )
4	3	ssriv 3357	. . . 4 |- Inacc C_ On
5		ssorduni 6396	. . . 4 |- ( Inacc C_ On -> Ord U. Inacc )
6		ordsson 6400	. . . 4 |- ( Ord U. Inacc -> U. Inacc C_ On )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 |- U. Inacc C_ On
8		vex 2973	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9		grothtsk 8998	. . . . . . . 8 |- U. Tarski = _V
10	8, 9	eleqtrri 2514	. . . . . . 7 |- y e. U. Tarski
11		eluni2 4092	. . . . . . 7 |- ( y e. U. Tarski <-> E. w e. Tarski y e. w )
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . 6 |- E. w e. Tarski y e. w
13		ne0i 3640	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. w -> w =/= (/) )
14		tskcard 8944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ w =/= (/) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
15	13, 14	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
16	15	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
17		tsksdom 8919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> y ~< w )
18	17	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y ~< w )
19		tskwe2 8936	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Tarski -> w e. dom card )
20	19	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> w e. dom card )
21		cardsdomel 8140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ w e. dom card ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
22	20, 21	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
23	18, 22	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y e. ( card ` w ) )
24		eleq2 2502	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( card ` w ) -> ( y e. z <-> y e. ( card ` w ) ) )
25	24	rspcev 3070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( card ` w ) e. Inacc /\ y e. ( card ` w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
26	16, 23, 25	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
27	26	rexlimdvaa 2840	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( E. w e. Tarski y e. w -> E. z e. Inacc y e. z ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . 5 |- ( y e. On -> E. z e. Inacc y e. z )
29		eluni2 4092	. . . . 5 |- ( y e. U. Inacc <-> E. z e. Inacc y e. z )
30	28, 29	sylibr 212	. . . 4 |- ( y e. On -> y e. U. Inacc )
31	30	ssriv 3357	. . 3 |- On C_ U. Inacc
32	7, 31	eqssi 3369	. 2 |- U. Inacc = On
33		ssonprc 6402	. . 3 |- ( Inacc C_ On -> ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On ) )
34	4, 33	ax-mp 5	. 2 |- ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On )
35	32, 34	mpbir 209	1 |- Inacc e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   e/ wnel 2605   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   Ord word 4714   Oncon0 4715   dom cdm 4836   ` cfv 5415   ~< csdm 7305   cardccrd 8101   InaccWcwina 8845   Inacccina 8846   Tarskictsk 8911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-ac2 8628  ax-groth 8986

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-smo 6803  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-oi 7720  df-har 7769  df-r1 7967  df-card 8105  df-aleph 8106  df-cf 8107  df-acn 8108  df-ac 8282  df-wina 8847  df-ina 8848  df-tsk 8912

This theorem is referenced by: (None)