MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem inaprc 9279
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9133 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  InaccW )
2 winaon 9131 . . . . . 6  |-  ( x  e.  InaccW  ->  x  e.  On )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3422 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 6631 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 6635 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 10 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 9278 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2548 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 4194 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 213 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 9224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 9199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 9216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 8426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726rexlimdvaa 2872 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2812, 27mpi 20 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
29 eluni2 4194 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3028, 29sylibr 217 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3130ssriv 3422 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
327, 31eqssi 3434 . 2  |-  U. Inacc  =  On
33 ssonprc 6638 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
344, 33ax-mp 5 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3532, 34mpbir 214 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    e/ wnel 2642   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   Ord word 5429   Oncon0 5430   ` cfv 5589    ~< csdm 7586   cardccrd 8387   InaccWcwina 9125   Inacccina 9126   Tarskictsk 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-groth 9266
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-smo 7083  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-har 8091  df-r1 8253  df-card 8391  df-aleph 8392  df-cf 8393  df-acn 8394  df-ac 8565  df-wina 9127  df-ina 9128  df-tsk 9192
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator