Theorem inaprc 9203

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	|- Inacc e/ _V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9057	. . . . . 6 |- ( x e. Inacc -> x e. InaccW )
2		winaon 9055	. . . . . 6 |- ( x e. InaccW -> x e. On )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. Inacc -> x e. On )
4	3	ssriv 3501	. . . 4 |- Inacc C_ On
5		ssorduni 6592	. . . 4 |- ( Inacc C_ On -> Ord U. Inacc )
6		ordsson 6596	. . . 4 |- ( Ord U. Inacc -> U. Inacc C_ On )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 |- U. Inacc C_ On
8		vex 3109	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9		grothtsk 9202	. . . . . . . 8 |- U. Tarski = _V
10	8, 9	eleqtrri 2547	. . . . . . 7 |- y e. U. Tarski
11		eluni2 4242	. . . . . . 7 |- ( y e. U. Tarski <-> E. w e. Tarski y e. w )
12	10, 11	mpbi 208	. . . . . 6 |- E. w e. Tarski y e. w
13		ne0i 3784	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. w -> w =/= (/) )
14		tskcard 9148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ w =/= (/) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
15	13, 14	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
16	15	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
17		tsksdom 9123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> y ~< w )
18	17	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y ~< w )
19		tskwe2 9140	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Tarski -> w e. dom card )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> w e. dom card )
21		cardsdomel 8344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ w e. dom card ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
22	20, 21	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
23	18, 22	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y e. ( card ` w ) )
24		eleq2 2533	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( card ` w ) -> ( y e. z <-> y e. ( card ` w ) ) )
25	24	rspcev 3207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( card ` w ) e. Inacc /\ y e. ( card ` w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
26	16, 23, 25	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
27	26	rexlimdvaa 2949	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( E. w e. Tarski y e. w -> E. z e. Inacc y e. z ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . 5 |- ( y e. On -> E. z e. Inacc y e. z )
29		eluni2 4242	. . . . 5 |- ( y e. U. Inacc <-> E. z e. Inacc y e. z )
30	28, 29	sylibr 212	. . . 4 |- ( y e. On -> y e. U. Inacc )
31	30	ssriv 3501	. . 3 |- On C_ U. Inacc
32	7, 31	eqssi 3513	. 2 |- U. Inacc = On
33		ssonprc 6598	. . 3 |- ( Inacc C_ On -> ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On ) )
34	4, 33	ax-mp 5	. 2 |- ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On )
35	32, 34	mpbir 209	1 |- Inacc e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   e/ wnel 2656   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   Ord word 4870   Oncon0 4871   dom cdm 4992   ` cfv 5579   ~< csdm 7505   cardccrd 8305   InaccWcwina 9049   Inacccina 9050   Tarskictsk 9115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-groth 9190

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-smo 7007  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-oi 7924  df-har 7973  df-r1 8171  df-card 8309  df-aleph 8310  df-cf 8311  df-acn 8312  df-ac 8486  df-wina 9051  df-ina 9052  df-tsk 9116

This theorem is referenced by: (None)