Theorem inaprc 8667

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	|- Inacc e/ _V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 8521	. . . . . 6 |- ( x e. Inacc -> x e. Inacc W )
2		winaon 8519	. . . . . 6 |- ( x e. Inacc W -> x e. On )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( x e. Inacc -> x e. On )
4	3	ssriv 3312	. . . 4 |- Inacc C_ On
5		ssorduni 4725	. . . 4 |- ( Inacc C_ On -> Ord U. Inacc )
6		ordsson 4729	. . . 4 |- ( Ord U. Inacc -> U. Inacc C_ On )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 |- U. Inacc C_ On
8		vex 2919	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9		grothtsk 8666	. . . . . . . 8 |- U. Tarski = _V
10	8, 9	eleqtrri 2477	. . . . . . 7 |- y e. U. Tarski
11		eluni2 3979	. . . . . . 7 |- ( y e. U. Tarski <-> E. w e. Tarski y e. w )
12	10, 11	mpbi 200	. . . . . 6 |- E. w e. Tarski y e. w
13		ne0i 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. w -> w =/= (/) )
14		tskcard 8612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ w =/= (/) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
15	13, 14	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
16	15	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
17		tsksdom 8587	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> y ~< w )
18	17	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y ~< w )
19		tskwe2 8604	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Tarski -> w e. dom card )
20	19	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> w e. dom card )
21		cardsdomel 7817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ w e. dom card ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
22	20, 21	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
23	18, 22	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y e. ( card ` w ) )
24		eleq2 2465	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( card ` w ) -> ( y e. z <-> y e. ( card ` w ) ) )
25	24	rspcev 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( card ` w ) e. Inacc /\ y e. ( card ` w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
26	16, 23, 25	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
27	26	rexlimdvaa 2791	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( E. w e. Tarski y e. w -> E. z e. Inacc y e. z ) )
28	12, 27	mpi 17	. . . . 5 |- ( y e. On -> E. z e. Inacc y e. z )
29		eluni2 3979	. . . . 5 |- ( y e. U. Inacc <-> E. z e. Inacc y e. z )
30	28, 29	sylibr 204	. . . 4 |- ( y e. On -> y e. U. Inacc )
31	30	ssriv 3312	. . 3 |- On C_ U. Inacc
32	7, 31	eqssi 3324	. 2 |- U. Inacc = On
33		ssonprc 4731	. . 3 |- ( Inacc C_ On -> ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On ) )
34	4, 33	ax-mp 8	. 2 |- ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On )
35	32, 34	mpbir 201	1 |- Inacc e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   e/ wnel 2568   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   Ord word 4540   Oncon0 4541   dom cdm 4837   ` cfv 5413   ~< csdm 7067   cardccrd 7778   Inacc Wcwina 8513   Inacccina 8514   Tarskictsk 8579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299  ax-groth 8654

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-smo 6567  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-har 7482  df-r1 7646  df-card 7782  df-aleph 7783  df-cf 7784  df-acn 7785  df-ac 7953  df-wina 8515  df-ina 8516  df-tsk 8580