MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Unicode version

Theorem inaprc 9212
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9066 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  InaccW )
2 winaon 9064 . . . . . 6  |-  ( x  e.  InaccW  ->  x  e.  On )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3490 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 6602 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 6606 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 10 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 3096 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 9211 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2528 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 4234 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 208 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3773 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 9157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 9149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 8353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726rexlimdvaa 2934 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2812, 27mpi 17 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
29 eluni2 4234 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3028, 29sylibr 212 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3130ssriv 3490 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
327, 31eqssi 3502 . 2  |-  U. Inacc  =  On
33 ssonprc 6608 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
344, 33ax-mp 5 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3532, 34mpbir 209 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    e/ wnel 2637   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   (/)c0 3767   U.cuni 4230   class class class wbr 4433   Ord word 4863   Oncon0 4864   dom cdm 4985   ` cfv 5574    ~< csdm 7513   cardccrd 8314   InaccWcwina 9058   Inacccina 9059   Tarskictsk 9124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-ac2 8841  ax-groth 9199
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-smo 7015  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-oi 7933  df-har 7982  df-r1 8180  df-card 8318  df-aleph 8319  df-cf 8320  df-acn 8321  df-ac 8495  df-wina 9060  df-ina 9061  df-tsk 9125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator