MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Unicode version

Theorem inaprc 9147
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc  |-  Inacc  e/  _V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9001 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  InaccW )
2 winaon 8999 . . . . . 6  |-  ( x  e.  InaccW  ->  x  e.  On )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  On )
43ssriv 3438 . . . 4  |-  Inacc  C_  On
5 ssorduni 6542 . . . 4  |-  ( Inacc  C_  On  ->  Ord  U. Inacc )
6 ordsson 6546 . . . 4  |-  ( Ord  U. Inacc  ->  U. Inacc  C_  On )
74, 5, 6mp2b 10 . . 3  |-  U. Inacc  C_  On
8 vex 3054 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
9 grothtsk 9146 . . . . . . . 8  |-  U. Tarski  =  _V
108, 9eleqtrri 2483 . . . . . . 7  |-  y  e. 
U. Tarski
11 eluni2 4184 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. Tarski  <->  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
)
1210, 11mpbi 208 . . . . . 6  |-  E. w  e.  Tarski  y  e.  w
13 ne0i 3734 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  w  ->  w  =/=  (/) )
14 tskcard 9092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1513, 14sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  ( card `  w )  e. 
Inacc )
1615adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( card `  w )  e.  Inacc )
17 tsksdom 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  y  ~<  w )
1817adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  ~<  w )
19 tskwe2 9084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  Tarski  ->  w  e.  dom  card )
2019adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w )  ->  w  e.  dom  card )
21 cardsdomel 8290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  w  e.  dom  card )  ->  ( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2220, 21sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
( y  ~<  w  <->  y  e.  ( card `  w
) ) )
2318, 22mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  -> 
y  e.  ( card `  w ) )
24 eleq2 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( card `  w
)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (
card `  w )
) )
2524rspcev 3152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  w
)  e.  Inacc  /\  y  e.  ( card `  w
) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2616, 23, 25syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( w  e.  Tarski  /\  y  e.  w ) )  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
2726rexlimdvaa 2889 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( E. w  e.  Tarski  y  e.  w  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z ) )
2812, 27mpi 17 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
29 eluni2 4184 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. Inacc  <->  E. z  e.  Inacc  y  e.  z )
3028, 29sylibr 212 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  y  e.  U. Inacc )
3130ssriv 3438 . . 3  |-  On  C_  U.
Inacc
327, 31eqssi 3450 . 2  |-  U. Inacc  =  On
33 ssonprc 6548 . . 3  |-  ( Inacc  C_  On  ->  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On ) )
344, 33ax-mp 5 . 2  |-  ( Inacc  e/ 
_V 
<-> 
U. Inacc  =  On )
3532, 34mpbir 209 1  |-  Inacc  e/  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591    e/ wnel 2592   E.wrex 2747   _Vcvv 3051    C_ wss 3406   (/)c0 3728   U.cuni 4180   class class class wbr 4384   Ord word 4808   Oncon0 4809   dom cdm 4930   ` cfv 5513    ~< csdm 7456   cardccrd 8251   InaccWcwina 8993   Inacccina 8994   Tarskictsk 9059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-ac2 8778  ax-groth 9134
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-smo 6957  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-oi 7872  df-har 7921  df-r1 8117  df-card 8255  df-aleph 8256  df-cf 8257  df-acn 8258  df-ac 8432  df-wina 8995  df-ina 8996  df-tsk 9060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator