Theorem inaprc 9266

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	|- Inacc e/ _V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9120	. . . . . 6 |- ( x e. Inacc -> x e. InaccW )
2		winaon 9118	. . . . . 6 |- ( x e. InaccW -> x e. On )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. Inacc -> x e. On )
4	3	ssriv 3438	. . . 4 |- Inacc C_ On
5		ssorduni 6617	. . . 4 |- ( Inacc C_ On -> Ord U. Inacc )
6		ordsson 6621	. . . 4 |- ( Ord U. Inacc -> U. Inacc C_ On )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 |- U. Inacc C_ On
8		vex 3050	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9		grothtsk 9265	. . . . . . . 8 |- U. Tarski = _V
10	8, 9	eleqtrri 2530	. . . . . . 7 |- y e. U. Tarski
11		eluni2 4205	. . . . . . 7 |- ( y e. U. Tarski <-> E. w e. Tarski y e. w )
12	10, 11	mpbi 212	. . . . . 6 |- E. w e. Tarski y e. w
13		ne0i 3739	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. w -> w =/= (/) )
14		tskcard 9211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ w =/= (/) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
15	13, 14	sylan2 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
16	15	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
17		tsksdom 9186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> y ~< w )
18	17	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y ~< w )
19		tskwe2 9203	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Tarski -> w e. dom card )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> w e. dom card )
21		cardsdomel 8413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ w e. dom card ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
22	20, 21	sylan2 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
23	18, 22	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y e. ( card ` w ) )
24		eleq2 2520	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( card ` w ) -> ( y e. z <-> y e. ( card ` w ) ) )
25	24	rspcev 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( card ` w ) e. Inacc /\ y e. ( card ` w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
26	16, 23, 25	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
27	26	rexlimdvaa 2882	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( E. w e. Tarski y e. w -> E. z e. Inacc y e. z ) )
28	12, 27	mpi 20	. . . . 5 |- ( y e. On -> E. z e. Inacc y e. z )
29		eluni2 4205	. . . . 5 |- ( y e. U. Inacc <-> E. z e. Inacc y e. z )
30	28, 29	sylibr 216	. . . 4 |- ( y e. On -> y e. U. Inacc )
31	30	ssriv 3438	. . 3 |- On C_ U. Inacc
32	7, 31	eqssi 3450	. 2 |- U. Inacc = On
33		ssonprc 6624	. . 3 |- ( Inacc C_ On -> ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On ) )
34	4, 33	ax-mp 5	. 2 |- ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On )
35	32, 34	mpbir 213	1 |- Inacc e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   e/ wnel 2625   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   (/)c0 3733   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   dom cdm 4837   Ord word 5425   Oncon0 5426   ` cfv 5585   ~< csdm 7573   cardccrd 8374   InaccWcwina 9112   Inacccina 9113   Tarskictsk 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-ac2 8898  ax-groth 9253

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-smo 7070  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-oi 8030  df-har 8078  df-r1 8240  df-card 8378  df-aleph 8379  df-cf 8380  df-acn 8381  df-ac 8552  df-wina 9114  df-ina 9115  df-tsk 9179

This theorem is referenced by: (None)