Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem28 38921
 Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 𝑇 ∖ 𝑈. Here 𝑑 is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1 𝑡𝑈
stoweidlem28.2 𝑡𝜑
stoweidlem28.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem28.4 𝑇 = 𝐽
stoweidlem28.5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem28.6 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem28.7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡))
stoweidlem28.8 (𝜑𝑈𝐽)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝑃   𝑇,𝑑,𝑡   𝑈,𝑑   𝑡,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑑)   𝐾(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 11123 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
2 halfgt0 11125 . . . . 5 0 < (1 / 2)
31, 2elrpii 11711 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
43a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5 halflt1 11127 . . . 4 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (1 / 2) < 1)
7 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑡𝑇
8 stoweidlem28.1 . . . . . . 7 𝑡𝑈
97, 8nfdif 3693 . . . . . 6 𝑡(𝑇𝑈)
109nfeq1 2764 . . . . 5 𝑡(𝑇𝑈) = ∅
1110rzalf 38199 . . . 4 ((𝑇𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))
1211adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))
13 ovex 6577 . . . 4 (1 / 2) ∈ V
14 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 2) ∈ ℝ+))
15 breq1 4586 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 < 1 ↔ (1 / 2) < 1))
16 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑑 = (1 / 2) → (𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ (1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)))
1716ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑑 = (1 / 2) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)))
1814, 15, 173anbi123d 1391 . . . 4 (𝑑 = (1 / 2) → ((𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡))))
1913, 18spcev 3273 . . 3 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 / 2) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
204, 6, 12, 19syl3anc 1318 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
21 simplll 794 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → 𝜑)
22 simplr 788 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑈))
23 simpr 476 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
24 stoweidlem28.3 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (topGen‘ran (,))
25 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = 𝐽
26 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
27 stoweidlem28.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2824, 25, 26, 27fcnre 38207 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
30 eldifi 3694 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑥𝑇)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑥𝑇)
3229, 31ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
33 stoweidlem28.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡))
34 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑇𝑈)
35 nfv 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0 < (𝑃𝑡)
36 nfv 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑡0 < (𝑃𝑥)
37 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (𝑃𝑡) = (𝑃𝑥))
3837breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → (0 < (𝑃𝑡) ↔ 0 < (𝑃𝑥)))
399, 34, 35, 36, 38cbvralf 3141 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑥))
4039biimpi 205 . . . . . . . . . 10 (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) → ∀𝑥 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑥))
4140r19.21bi 2916 . . . . . . . . 9 ((∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑃𝑡) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑥))
4233, 41sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑥))
4332, 42elrpd 11745 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ+)
44433adant3 1074 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ+)
45 stoweidlem28.2 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
469nfcri 2745 . . . . . . . 8 𝑡 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)
47 nfra1 2925 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)
4845, 46, 47nf3an 1819 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
49 rspa 2914 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
50493ad2antl3 1218 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
51 simpl2 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑈))
52 fvres 6117 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑇𝑈) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑃𝑥))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑃𝑥))
54 fvres 6117 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) = (𝑃𝑡))
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) = (𝑃𝑡))
5650, 53, 553brtr3d 4614 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))
5756ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
5848, 57ralrimi 2940 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))
59 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔ (𝑃𝑥) ∈ ℝ+))
60 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (𝑐 ≤ (𝑃𝑡) ↔ (𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
6160ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑃𝑥) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)))
6259, 61anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑃𝑥) → ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ ((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡))))
6362spcegv 3267 . . . . . . 7 ((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ → (((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))))
6444, 63syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → (((𝑃𝑥) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(𝑃𝑥) ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))))
6544, 58, 64mp2and 711 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)))
66 simpl1 1057 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → 𝜑)
67 simprl 790 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
68 simprr 792 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
69 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑡 𝑐 ∈ ℝ+
70 nfra1 2925 . . . . . . . 8 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)
7145, 69, 70nf3an 1819 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
72 eqid 2610 . . . . . . 7 if(𝑐 ≤ (1 / 2), 𝑐, (1 / 2)) = if(𝑐 ≤ (1 / 2), 𝑐, (1 / 2))
73283ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
74 difssd 3700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
75 simp2 1055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
76 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))
7771, 72, 73, 74, 75, 76stoweidlem5 38898 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
7866, 67, 68, 77syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑐 ≤ (𝑃𝑡))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
7965, 78exlimddv 1850 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑇𝑈) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
8021, 22, 23, 79syl3anc 1318 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
81 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐽t (𝑇𝑈)) = (𝐽t (𝑇𝑈))
82 stoweidlem28.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
83 stoweidlem28.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
84 cmptop 21008 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
8582, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
86 elssuni 4403 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 𝐽)
8887, 25syl6sseqr 3615 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑇)
8925isopn2 20646 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈𝑇) → (𝑈𝐽 ↔ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)))
9085, 88, 89syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐽 ↔ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)))
9183, 90mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
92 cmpcld 21015 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9382, 91, 92syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9493adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
9527adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
96 difssd 3700 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
9725cnrest 20899 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑃 ↾ (𝑇𝑈)) ∈ ((𝐽t (𝑇𝑈)) Cn 𝐾))
9895, 96, 97syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑃 ↾ (𝑇𝑈)) ∈ ((𝐽t (𝑇𝑈)) Cn 𝐾))
99 df-ne 2782 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑈) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑇𝑈) = ∅)
100 difssd 3700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
10125restuni 20776 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)))
10285, 100, 101syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)))
103102neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ≠ ∅ ↔ (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅))
10499, 103syl5rbbr 274 . . . . . . 7 (𝜑 → ( (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑇𝑈) = ∅))
105104biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ≠ ∅)
10681, 24, 94, 98, 105evth2 22567 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠))
107 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))
108 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡𝐽
109 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡t
110108, 109, 9nfov 6575 . . . . . . . 8 𝑡(𝐽t (𝑇𝑈))
111110nfuni 4378 . . . . . . 7 𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))
112 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑃
113112, 9nfres 5319 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑃 ↾ (𝑇𝑈))
114 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡𝑥
115113, 114nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥)
116 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑡
117 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑡𝑠
118113, 117nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠)
119115, 116, 118nfbr 4629 . . . . . . 7 𝑡((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠)
120 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑠((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)
121 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) = ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
122121breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
123107, 111, 119, 120, 122cbvralf 3141 . . . . . 6 (∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
124123rexbii 3023 . . . . 5 (∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑠 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑠) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
125106, 124sylib 207 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
1269, 111raleqf 3111 . . . . . . 7 ((𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
127126rexeqbi1dv 3124 . . . . . 6 ((𝑇𝑈) = (𝐽t (𝑇𝑈)) → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
128102, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
129128adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡) ↔ ∃𝑥 (𝐽t (𝑇𝑈))∀𝑡 (𝐽t (𝑇𝑈))((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡)))
130125, 129mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑇𝑈)∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑥) ≤ ((𝑃 ↾ (𝑇𝑈))‘𝑡))
13180, 130r19.29a 3060 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
13220, 131pm2.61dan 828 1 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046   ↾t crest 15904  topGenctg 15921  Topctop 20517  Clsdccld 20630   Cn ccn 20838  Compccmp 20999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  stoweidlem56  38949
 Copyright terms: Public domain W3C validator