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Theorem stoweidlem28 32049
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 
T  \  U. Here  d is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1  |-  F/_ t U
stoweidlem28.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem28.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem28.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem28.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem28.6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem28.7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
stoweidlem28.8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Distinct variable groups:    t, d, P    T, d, t    U, d    t, J
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    U( t)    J( d)    K( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables  c  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 10750 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2 halfgt0 10752 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
31, 2elrpii 11224 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR+ )
5 halflt1 10753 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  <  1
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  <  1
)
7 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
8 stoweidlem28.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t U
97, 8nfdif 3611 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  \  U
)
109nfeq1 2631 . . . . 5  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
1110rzalf 31632 . . . 4  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
)
1211adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) )
13 ovex 6298 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
14 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  e.  RR+  <->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ ) )
15 breq1 4442 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <  1  <->  ( 1  /  2 )  <  1 ) )
16 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) )
1716ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
) )
1814, 15, 173anbi123d 1297 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) ) )
1913, 18spcev 3198 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
204, 6, 12, 19syl3anc 1226 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
21 simplll 757 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ph )
22 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
23 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
24 stoweidlem28.3 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
25 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  = 
U. J
26 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
27 stoweidlem28.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
2824, 25, 26, 27fcnre 31640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
2928adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  P : T
--> RR )
30 eldifi 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  x  e.  T )
3130adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  T )
3229, 31ffvelrnd 6008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR )
33 stoweidlem28.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
34 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( T  \  U
)
35 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
0  <  ( P `  t )
36 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t 0  <  ( P `
 x )
37 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( P `  t )  =  ( P `  x ) )
3837breq2d 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
0  <  ( P `  t )  <->  0  <  ( P `  x ) ) )
399, 34, 35, 36, 38cbvralf 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  <->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x ) )
4039biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  ->  A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )
)
4140r19.21bi 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
4233, 41sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  x ) )
4332, 42elrpd 11256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR+ )
44433adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( P `  x
)  e.  RR+ )
45 stoweidlem28.2 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
469nfcri 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ t  x  e.  ( T 
\  U )
47 nfra1 2835 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
4845, 46, 47nf3an 1935 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
49 rspa 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t ) )
50493ad2antl3 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
51 simpl2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
52 fvres 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  =  ( P `  x
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  =  ( P `  x ) )
54 fvres 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  =  ( P `  t
) )
5554adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  =  ( P `  t ) )
5650, 53, 553brtr3d 4468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( P `  x
)  <_  ( P `  t ) )
5756ex 432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
5848, 57ralrimi 2854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x )  <_  ( P `  t ) )
59 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  e.  RR+  <->  ( P `  x )  e.  RR+ ) )
60 breq1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  <_  ( P `  t )  <->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
6160ralbidv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
6259, 61anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  <->  ( ( P `  x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) ) )
6362spcegv 3192 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  ->  ( ( ( P `  x
)  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `
 x )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
6444, 63syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( ( P `
 x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
)  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
6544, 58, 64mp2and 677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
) )
66 simpl1 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ph )
67 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
68 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
69 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ t  c  e.  RR+
70 nfra1 2835 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )
7145, 69, 70nf3an 1935 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)
72 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  if ( c  <_  ( 1  /  2 ) ,  c ,  ( 1  /  2 ) )  =  if ( c  <_  ( 1  / 
2 ) ,  c ,  ( 1  / 
2 ) )
73283ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  P : T --> RR )
74 difssd 3618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
( T  \  U
)  C_  T )
75 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
c  e.  RR+ )
76 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
7771, 72, 73, 74, 75, 76stoweidlem5 32026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
7866, 67, 68, 77syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
7965, 78exlimddv 1731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
8021, 22, 23, 79syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
81 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )
82 stoweidlem28.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
83 stoweidlem28.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
84 cmptop 20062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
8582, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
86 elssuni 4264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
8783, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
8887, 25syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
8925isopn2 19700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )  -> 
( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9085, 88, 89syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9183, 90mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
92 cmpcld 20069 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
9382, 91, 92syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
9493adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
9527adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
96 difssd 3618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  C_  T )
9725cnrest 19953 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( P  |`  ( T  \  U ) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
9895, 96, 97syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  |`  ( T  \  U
) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
99 df-ne 2651 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
100 difssd 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
10125restuni 19830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
10285, 100, 101syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
103102neeq1d 2731 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) ) )
10499, 103syl5rbbr 260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) ) )
105104biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) )
10681, 24, 94, 98, 105evth2 21626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s ) )
107 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ s U. ( Jt  ( T  \  U ) )
108 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
109 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ tt
110108, 109, 9nfov 6296 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( Jt  ( T  \  U ) )
111110nfuni 4241 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. ( Jt  ( T  \  U ) )
112 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t P
113112, 9nfres 5264 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P  |`  ( T  \  U ) )
114 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
x
115113, 114nffv 5855 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )
116 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
117 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
118113, 117nffv 5855 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )
119115, 116, 118nfbr 4483 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)
120 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
121 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 s )  =  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
122121breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
123107, 111, 119, 120, 122cbvralf 3075 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
124123rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. s  e. 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
125106, 124sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
1269, 111raleqf 3047 . . . . . . 7  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) ) )
127126rexeqbi1dv 3060 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U ) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
128102, 127syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
129128adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
130125, 129mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
13180, 130r19.29a 2996 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
13220, 131pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617   F/wnf 1621    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ran crn 4989    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   ↾t crest 14910   topGenctg 14927   Topctop 19561   Clsdccld 19684    Cn ccn 19892   Compccmp 20053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991
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