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Theorem stoweidlem28 27879
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 
T  \  U. Here  d is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1  |-  F/_ t U
stoweidlem28.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem28.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem28.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem28.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem28.6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem28.7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
stoweidlem28.8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Distinct variable groups:    t, d, P    T, d, t    U, d    t, J
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    U( t)    J( d)    K( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables  c  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
2 2re 9831 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
3 2ne0 9845 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
41, 2, 33pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )
5 redivcl 9495 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  2  =/=  0 )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
7 halfgt0 9948 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
86, 7pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  2
) )
9 elrp 10372 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  <->  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( 1  /  2
) ) )
108, 9mpbir 200 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR+ )
12 halflt1 9949 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  <  1
)
14 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
15 stoweidlem28.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t U
1614, 15nfdif 3310 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( T  \  U
)
17 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t (/)
1816, 17nfeq 2439 . . . . . 6  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
1918rzalf 27790 . . . . 5  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
)
2019adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) )
2111, 13, 203jca 1132 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  /\  ( 1  / 
2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) ) )
22 elex 2809 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  _V )
236, 22ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
24 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  e.  RR+  <->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ ) )
25 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <  1  <->  ( 1  /  2 )  <  1 ) )
26 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) )
2726ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
) )
2824, 25, 273anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) ) )
2923, 28spcev 2888 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
3021, 29syl 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
31 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )
32 stoweidlem28.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
33 stoweidlem28.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
34 stoweidlem28.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
35 cmptop 17138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
3633, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
37 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
39 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  = 
U. J
4038, 39syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
4136, 40jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )
)
4239isopn2 16785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )  -> 
( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4434, 43mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4533, 44jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
46 cmpcld 17145 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
4745, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
4847adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
49 stoweidlem28.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
5049adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
51 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( T 
\  U )  C_  T
5251a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  C_  T )
5350, 52jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U )  C_  T ) )
5439cnrest 17029 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( P  |`  ( T  \  U ) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
5553, 54syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  |`  ( T  \  U
) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
56 df-ne 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
5751a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
5836, 57jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U
)  C_  T )
)
5939restuni 16909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
61 neeq1 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/) 
<-> 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) )  =/=  (/) ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) ) )
6356, 62syl5rbbr 251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) ) )
6463biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) )
6531, 32, 48, 55, 64evth2 18474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s ) )
66 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ s U. ( Jt  ( T  \  U ) )
67 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
68 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ tt
6967, 68, 16nfov 5897 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( Jt  ( T  \  U ) )
7069nfuni 3849 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. ( Jt  ( T  \  U ) )
71 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t P
7271, 16nfres 4973 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P  |`  ( T  \  U ) )
73 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
x
7472, 73nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )
75 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
76 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
7772, 76nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )
7874, 75, 77nfbr 4083 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)
79 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
80 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 s )  =  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
8180breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8266, 70, 78, 79, 81cbvralf 2771 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
8382rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. s  e. 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
8465, 83sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
8516, 70raleqf 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) ) )
8685rexeqbi1dv 2758 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U ) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8760, 86syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8887adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
8984, 88mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
90 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ph )
91 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
92 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
9390, 91, 923jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ( ph  /\  x  e.  ( T 
\  U )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
94 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
9532, 39, 94, 49fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  P : T
--> RR )
97 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  x  e.  T )
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  T )
9996, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P : T --> RR  /\  x  e.  T ) )
100 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P : T --> RR  /\  x  e.  T )  ->  ( P `  x
)  e.  RR )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR )
102 stoweidlem28.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  t )
)
104 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
105103, 104jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  /\  x  e.  ( T  \  U ) ) )
106 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( T  \  U
)
107 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
0  <  ( P `  t )
108 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ t 0  <  ( P `
 x )
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  ( P `  t )  =  ( P `  x ) )
110109breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  (
0  <  ( P `  t )  <->  0  <  ( P `  x ) ) )
11116, 106, 107, 108, 110cbvralf 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  <->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x ) )
112111biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  ->  A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )
)
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `  x ) )
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
115113, 114jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )  /\  x  e.  ( T  \  U ) ) )
116 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  x
)  ->  ( x  e.  ( T  \  U
)  ->  0  <  ( P `  x ) ) )
117116imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
118115, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
119105, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  x ) )
120101, 119jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P `  x )  e.  RR  /\  0  < 
( P `  x
) ) )
121 elrp 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  <->  ( ( P `
 x )  e.  RR  /\  0  < 
( P `  x
) ) )
122120, 121sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR+ )
1231223adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( P `  x
)  e.  RR+ )
124 stoweidlem28.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t
ph
12573, 16nfel 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  x  e.  ( T 
\  U )
126 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
127124, 125, 126nf3an 1786 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
128 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
t  e.  ( T 
\  U ) )
130128, 129jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  /\  t  e.  ( T  \  U
) ) )
131 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
132131imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t ) )
133130, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
134 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
135 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  =  ( P `  x
) )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  =  ( P `  x ) )
137 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  =  ( P `  t
) )
138129, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  =  ( P `  t ) )
139133, 136, 1383brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( P `  x
)  <_  ( P `  t ) )
140139ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
141127, 140ralrimi 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x )  <_  ( P `  t ) )
142123, 141jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( P `  x )  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x
)  <_  ( P `  t ) ) )
143 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  e.  RR+  <->  ( P `  x )  e.  RR+ ) )
144 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  <_  ( P `  t )  <->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
145144ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
146143, 145anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  <->  ( ( P `  x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) ) )
147146spcegv 2882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  ->  ( ( ( P `  x
)  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `
 x )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
148123, 147syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( ( P `
 x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
)  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
149142, 148mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
) )
150 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ph )
151 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
152 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
153150, 151, 1523jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_ 
( P `  t
) ) )
154 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  c  e.  RR+
155 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )
156124, 154, 155nf3an 1786 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)
157 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( c  <_  ( 1  /  2 ) ,  c ,  ( 1  /  2 ) )  =  if ( c  <_  ( 1  / 
2 ) ,  c ,  ( 1  / 
2 ) )
158953ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  P : T --> RR )
15951a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
( T  \  U
)  C_  T )
160 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
c  e.  RR+ )
161 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
162156, 157, 158, 159, 160, 161stoweidlem5 27856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
163153, 162syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
164163ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
165164exlimdv 1626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
166149, 165mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
16793, 166syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
168167ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U
) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) ) )
169168ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) ) ) )
170169rexlimdv 2679 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
17189, 170mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
17230, 171pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ↾t crest 13341   topGenctg 13358   Topctop 16647   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  27907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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