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Theorem stoweidlem28 29671
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 
T  \  U. Here  d is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1  |-  F/_ t U
stoweidlem28.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem28.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem28.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem28.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem28.6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem28.7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
stoweidlem28.8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Distinct variable groups:    t, d, P    T, d, t    U, d    t, J
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    U( t)    J( d)    K( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables  c  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 10530 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2 halfgt0 10532 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
31, 2elrpii 10984 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR+ )
5 halflt1 10533 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  <  1
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  <  1
)
7 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
8 stoweidlem28.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t U
97, 8nfdif 3467 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  \  U
)
109nfeq1 2580 . . . . 5  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
1110rzalf 29586 . . . 4  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
)
1211adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) )
13 ovex 6107 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
14 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  e.  RR+  <->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ ) )
15 breq1 4285 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <  1  <->  ( 1  /  2 )  <  1 ) )
16 breq1 4285 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) )
1716ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
) )
1814, 15, 173anbi123d 1284 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) ) )
1913, 18spcev 3055 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
204, 6, 12, 19syl3anc 1213 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
21 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )
22 stoweidlem28.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
23 stoweidlem28.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
24 stoweidlem28.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
25 cmptop 18842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
2623, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
27 elssuni 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
2824, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
29 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  = 
U. J
3028, 29syl6sseqr 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
3129isopn2 18480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )  -> 
( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3226, 30, 31syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3324, 32mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
34 cmpcld 18849 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
3523, 33, 34syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
3635adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
37 stoweidlem28.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
3837adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
39 difssd 3474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  C_  T )
4029cnrest 18733 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( P  |`  ( T  \  U ) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
4138, 39, 40syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  |`  ( T  \  U
) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
42 df-ne 2600 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
43 difssd 3474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
4429restuni 18610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
4526, 43, 44syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
4645neeq1d 2613 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) ) )
4742, 46syl5rbbr 260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) ) )
4847biimpar 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) )
4921, 22, 36, 41, 48evth2 20376 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s ) )
50 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ s U. ( Jt  ( T  \  U ) )
51 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
52 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ tt
5351, 52, 9nfov 6105 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( Jt  ( T  \  U ) )
5453nfuni 4087 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. ( Jt  ( T  \  U ) )
55 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t P
5655, 9nfres 5101 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P  |`  ( T  \  U ) )
57 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
x
5856, 57nffv 5688 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )
59 nfcv 2571 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
60 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
6156, 60nffv 5688 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )
6258, 59, 61nfbr 4326 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)
63 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
64 fveq2 5681 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 s )  =  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
6564breq2d 4294 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
6650, 54, 62, 63, 65cbvralf 2933 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
6766rexbii 2732 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. s  e. 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
6849, 67sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
699, 54raleqf 2905 . . . . . . 7  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) ) )
7069rexeqbi1dv 2918 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U ) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
7145, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
7271adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
7368, 72mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
74 simplll 752 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ph )
75 simplr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
76 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
77 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
7822, 29, 77, 37fcnre 29594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
7978adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  P : T
--> RR )
80 eldifi 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  x  e.  T )
8180adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  T )
8279, 81ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR )
83 stoweidlem28.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
84 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( T  \  U
)
85 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
0  <  ( P `  t )
86 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ t 0  <  ( P `
 x )
87 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  x  ->  ( P `  t )  =  ( P `  x ) )
8887breq2d 4294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  x  ->  (
0  <  ( P `  t )  <->  0  <  ( P `  x ) ) )
899, 84, 85, 86, 88cbvralf 2933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  <->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x ) )
9089biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  ->  A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )
)
9190r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
9283, 91sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  x ) )
9382, 92elrpd 11015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR+ )
94933adant3 1003 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( P `  x
)  e.  RR+ )
95 stoweidlem28.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t
ph
969nfcri 2565 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  x  e.  ( T 
\  U )
97 nfra1 2758 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
9895, 96, 97nf3an 1863 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
99 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t ) )
1011003ad2antl3 1147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
102 simpl2 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
103 fvres 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  =  ( P `  x
) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  =  ( P `  x ) )
105 fvres 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  =  ( P `  t
) )
106105adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  =  ( P `  t ) )
107101, 104, 1063brtr3d 4311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( P `  x
)  <_  ( P `  t ) )
108107ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
10998, 108ralrimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x )  <_  ( P `  t ) )
110 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  e.  RR+  <->  ( P `  x )  e.  RR+ ) )
111 breq1 4285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  <_  ( P `  t )  <->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
112111ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
113110, 112anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  <->  ( ( P `  x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) ) )
114113spcegv 3049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  ->  ( ( ( P `  x
)  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `
 x )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
11594, 114syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( ( P `
 x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
)  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
11694, 109, 115mp2and 674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
) )
117 simpl1 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ph )
118 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
119 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
120 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t  c  e.  RR+
121 nfra1 2758 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )
12295, 120, 121nf3an 1863 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)
123 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  if ( c  <_  ( 1  /  2 ) ,  c ,  ( 1  /  2 ) )  =  if ( c  <_  ( 1  / 
2 ) ,  c ,  ( 1  / 
2 ) )
124783ad2ant1 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  P : T --> RR )
125 difssd 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
( T  \  U
)  C_  T )
126 simp2 984 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
c  e.  RR+ )
127 simp3 985 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
128122, 123, 124, 125, 126, 127stoweidlem5 29648 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
129117, 118, 119, 128syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
130116, 129exlimddv 1693 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
13174, 75, 76, 130syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
132131ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U
) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) ) )
133132rexlimdva 2833 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) ) )
13473, 133mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
13520, 134pm2.61dan 784 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591   F/wnf 1594    e. wcel 1757   F/_wnfc 2558    =/= wne 2598   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3315    C_ wss 3318   (/)c0 3627   ifcif 3781   U.cuni 4081   class class class wbr 4282   ran crn 4830    |` cres 4831   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273    < clt 9408    <_ cle 9409    / cdiv 9983   2c2 10361   RR+crp 10981   (,)cioo 11290   ↾t crest 14344   topGenctg 14361   Topctop 18342   Clsdccld 18464    Cn ccn 18672   Compccmp 18833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350  ax-mulf 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6311  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-supp 6682  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-ixp 7254  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fsupp 7611  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ioo 11294  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-seq 11793  df-exp 11852  df-hash 12090  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-ress 14166  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-starv 14238  df-sca 14239  df-vsca 14240  df-ip 14241  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-unif 14246  df-hom 14247  df-cco 14248  df-rest 14346  df-topn 14347  df-0g 14365  df-gsum 14366  df-topgen 14367  df-pt 14368  df-prds 14371  df-xrs 14425  df-qtop 14430  df-imas 14431  df-xps 14433  df-mre 14509  df-mrc 14510  df-acs 14512  df-mnd 15400  df-submnd 15450  df-mulg 15530  df-cntz 15817  df-cmn 16261  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-cnfld 17665  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-cld 18467  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-cmp 18834  df-tx 18979  df-hmeo 19172  df-xms 19739  df-ms 19740  df-tms 19741
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