Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem28 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem28 31328
Description: There exists a δ as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < delta < 1 and p >= delta on 
T  \  U. Here  d is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem28.1  |-  F/_ t U
stoweidlem28.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem28.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem28.4  |-  T  = 
U. J
stoweidlem28.5  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem28.6  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
stoweidlem28.7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
stoweidlem28.8  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem28  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Distinct variable groups:    t, d, P    T, d, t    U, d    t, J
Allowed substitution hints:    ph( t, d)    U( t)    J( d)    K( t, d)

Proof of Theorem stoweidlem28
Dummy variables  c  x  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 halfre 10750 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2 halfgt0 10752 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
31, 2elrpii 11219 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR+ )
5 halflt1 10753 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  <  1
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( 1  / 
2 )  <  1
)
7 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ t T
8 stoweidlem28.1 . . . . . . 7  |-  F/_ t U
97, 8nfdif 3625 . . . . . 6  |-  F/_ t
( T  \  U
)
109nfeq1 2644 . . . . 5  |-  F/ t ( T  \  U
)  =  (/)
1110rzalf 30970 . . . 4  |-  ( ( T  \  U )  =  (/)  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
)
1211adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2
)  <_  ( P `  t ) )
13 ovex 6307 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e. 
_V
14 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  e.  RR+  <->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ ) )
15 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <  1  <->  ( 1  /  2 )  <  1 ) )
16 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
d  <_  ( P `  t )  <->  ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) )
1716ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( 1  / 
2 )  <_  ( P `  t )
) )
1814, 15, 173anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) ) ) )
1913, 18spcev 3205 . . 3  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
1  /  2 )  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( 1  /  2 )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
204, 6, 12, 19syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
21 simplll 757 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  ph )
22 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
24 stoweidlem28.3 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
25 stoweidlem28.4 . . . . . . . . . . 11  |-  T  = 
U. J
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
27 stoweidlem28.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( J  Cn  K ) )
2824, 25, 26, 27fcnre 30978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : T --> RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  P : T
--> RR )
30 eldifi 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  x  e.  T )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  T )
3229, 31ffvelrnd 6020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR )
33 stoweidlem28.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t ) )
34 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( T  \  U
)
35 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
0  <  ( P `  t )
36 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t 0  <  ( P `
 x )
37 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( P `  t )  =  ( P `  x ) )
3837breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
0  <  ( P `  t )  <->  0  <  ( P `  x ) ) )
399, 34, 35, 36, 38cbvralf 3082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  <->  A. x  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 x ) )
4039biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  < 
( P `  t
)  ->  A. x  e.  ( T  \  U
) 0  <  ( P `  x )
)
4140r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) 0  <  ( P `
 t )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  -> 
0  <  ( P `  x ) )
4233, 41sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  0  <  ( P `  x ) )
4332, 42elrpd 11250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( P `  x )  e.  RR+ )
44433adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( P `  x
)  e.  RR+ )
45 stoweidlem28.2 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
469nfcri 2622 . . . . . . . 8  |-  F/ t  x  e.  ( T 
\  U )
47 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
4845, 46, 47nf3an 1877 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
49 rsp 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t ) )
51503ad2antl3 1160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
52 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  ->  x  e.  ( T  \  U ) )
53 fvres 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  =  ( P `  x
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  =  ( P `  x ) )
55 fvres 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( T  \  U )  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  =  ( P `  t
) )
5655adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  =  ( P `  t ) )
5751, 54, 563brtr3d 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  t  e.  ( T  \  U ) )  -> 
( P `  x
)  <_  ( P `  t ) )
5857ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( t  e.  ( T  \  U )  ->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
5948, 58ralrimi 2864 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `  x )  <_  ( P `  t ) )
60 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  e.  RR+  <->  ( P `  x )  e.  RR+ ) )
61 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
c  <_  ( P `  t )  <->  ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
6261ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )  <->  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) )
6360, 62anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( P `  x )  ->  (
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  <->  ( ( P `  x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
) ) )
6463spcegv 3199 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  x )  e.  RR+  ->  ( ( ( P `  x
)  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) ( P `
 x )  <_ 
( P `  t
) )  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
6544, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  -> 
( ( ( P `
 x )  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( P `  x )  <_  ( P `  t )
)  ->  E. c
( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) ) )
6644, 59, 65mp2and 679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. c ( c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
) )
67 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  ph )
68 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
69 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
70 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ t  c  e.  RR+
71 nfra1 2845 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t )
7245, 70, 71nf3an 1877 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) c  <_  ( P `  t )
)
73 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  if ( c  <_  ( 1  /  2 ) ,  c ,  ( 1  /  2 ) )  =  if ( c  <_  ( 1  / 
2 ) ,  c ,  ( 1  / 
2 ) )
74283ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  P : T --> RR )
75 difssd 3632 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
( T  \  U
)  C_  T )
76 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  -> 
c  e.  RR+ )
77 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )
7872, 73, 74, 75, 76, 77stoweidlem5 31305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
7967, 68, 69, 78syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( T  \  U
)  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) c  <_  ( P `  t ) ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
8066, 79exlimddv 1702 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( T  \  U )  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
8121, 22, 23, 80syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  ( T  \  U
)  =  (/) )  /\  x  e.  ( T  \  U ) )  /\  A. t  e.  ( T 
\  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
82 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )
83 stoweidlem28.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
84 stoweidlem28.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
85 cmptop 19661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
8683, 85syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
87 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  J  ->  U  C_ 
U. J )
8884, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  U. J )
8988, 25syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  T )
9025isopn2 19299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  T )  -> 
( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9186, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  <->  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
9284, 91mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  e.  ( Clsd `  J ) )
93 cmpcld 19668 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( T  \  U )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
9483, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e. 
Comp )
9594adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( Jt  ( T  \  U ) )  e.  Comp )
9627adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  P  e.  ( J  Cn  K
) )
97 difssd 3632 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( T 
\  U )  C_  T )
9825cnrest 19552 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( P  |`  ( T  \  U ) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
9996, 97, 98syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( P  |`  ( T  \  U
) )  e.  ( ( Jt  ( T  \  U ) )  Cn  K ) )
100 df-ne 2664 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) )
101 difssd 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  C_  T )
10225restuni 19429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( T  \  U ) 
C_  T )  -> 
( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
10386, 101, 102syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  \  U
)  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) )
104103neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  \  U )  =/=  (/)  <->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) ) )
105100, 104syl5rbbr 260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/)  <->  -.  ( T  \  U )  =  (/) ) )
106105biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  =/=  (/) )
10782, 24, 95, 99, 106evth2 21195 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s ) )
108 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ s U. ( Jt  ( T  \  U ) )
109 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t J
110 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ tt
111109, 110, 9nfov 6305 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( Jt  ( T  \  U ) )
112111nfuni 4251 . . . . . . 7  |-  F/_ t U. ( Jt  ( T  \  U ) )
113 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t P
114113, 9nfres 5273 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
( P  |`  ( T  \  U ) )
115 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
x
116114, 115nffv 5871 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )
117 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  <_
118 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t
s
119114, 118nffv 5871 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )
120116, 117, 119nfbr 4491 . . . . . . 7  |-  F/ t ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)
121 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
)
122 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  t  ->  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 s )  =  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
123122breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
124108, 112, 120, 121, 123cbvralf 3082 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  s )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) )
125124rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. s  e. 
U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  s
)  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
126107, 125sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
1279, 112raleqf 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  A. t  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  t
) ) )
128127rexeqbi1dv 3067 . . . . . 6  |-  ( ( T  \  U )  =  U. ( Jt  ( T  \  U ) )  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U ) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
129103, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
130129adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  ( T 
\  U ) A. t  e.  ( T  \  U ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  x )  <_  (
( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 t )  <->  E. x  e.  U. ( Jt  ( T 
\  U ) ) A. t  e.  U. ( Jt  ( T  \  U ) ) ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `
 x )  <_ 
( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) ) )
131126, 130mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. x  e.  ( T  \  U
) A. t  e.  ( T  \  U
) ( ( P  |`  ( T  \  U
) ) `  x
)  <_  ( ( P  |`  ( T  \  U ) ) `  t ) )
13281, 131r19.29a 3003 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ( T  \  U )  =  (/) )  ->  E. d
( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\ 
A. t  e.  ( T  \  U ) d  <_  ( P `  t ) ) )
13320, 132pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  E. d ( d  e.  RR+  /\  d  <  1  /\  A. t  e.  ( T  \  U
) d  <_  ( P `  t )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    < clt 9624    <_ cle 9625    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   ↾t crest 14672   topGenctg 14689   Topctop 19161   Clsdccld 19283    Cn ccn 19491   Compccmp 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  31356
  Copyright terms: Public domain W3C validator