Theorem rrxdsfi 39181

Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxdsfi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b	⊢ 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrxdsfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
2		rrxdsfi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
4	1, 2, 3	rrxbasefi 39179	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5		rrxdsfi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
6	5	eqcomi 2619	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐵
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐵)
8	4, 7	eqtr2d 2645	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
10		df-refld 19770	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
11	10	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
13		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
14		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
15	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
16	14, 15	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
17	16	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
18		elmapi 7765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
20	19	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℝ)
21		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
22	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
23	21, 22	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
24	23	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
25		elmapi 7765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
27	26	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℝ)
28	20, 27	resubcld 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘)) ∈ ℝ)
29	28	resqcld 12897	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
30	13, 29	regsumfsum 19633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
31	12, 30	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
32	31	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
33	32	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
34	33	3expb 1258	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
35	8, 9, 34	mpt2eq123dva 6614	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))))
36	2, 3	rrxds 22989	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
37	35, 36	eqtr2d 2645	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814   − cmin 10145  2c2 10947  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  Σcsu 14264  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  distcds 15777   Σ_g cgsu 15924  ℂ_fldccnfld 19567  ℝ_fldcrefld 19769  ℝ^crrx 22979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-nm 22197  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981

This theorem is referenced by:  rrndistlt  39186  qndenserrnopnlem  39193  rrndsmet  39198  ioorrnopnlem  39200  hoiqssbllem2  39513