Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 22439
 Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 22437 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21ralrimivva 2954 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
32ex 449 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4 n0 3890 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
5 n0 3890 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
64, 5anbi12i 729 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
7 eeanv 2170 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
8 simplll 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝐴) ⊆ 𝐴
10 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
119, 10sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏𝐴)
128, 11sseldd 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐴) ⊆ 𝐴
14 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
1513, 14sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐𝐴)
168, 15sseldd 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
178adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
18 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
1918ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
20 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
2120ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
22 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2310adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
2414adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
25 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 22438 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3020ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
3118ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
32 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
3410adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
35 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
36 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
3735, 36syl5eqss 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑣𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
39 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 22438 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣𝑢))
41 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
4241sseq2i 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝑣𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4340, 42sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4412, 16, 28, 43lecasei 10022 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4544exp32 629 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4645exlimdvv 1849 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
477, 46syl5bir 232 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
486, 47syl5bi 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4948expd 451 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))))
50493impd 1273 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))
5150ex 449 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5251ralrimdvva 2957 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
53 retopon 22377 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
54 connsub 21034 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5553, 54mpan 702 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5652, 55sylibrd 248 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con))
573, 56impbid 201 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049   ↾t crest 15904  topGenctg 15921  TopOnctopon 20518  Conccon 21024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-con 21025 This theorem is referenced by:  retopcon  22440  iccconn  22441  rescon  30482  iooscon  30483  iccllyscon  30486  ivthALT  31500
 Copyright terms: Public domain W3C validator