Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsub 21034
 Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
connsub ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub
StepHypRef Expression
1 consuba 21033 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2 inss1 3795 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
3 toponss 20544 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
43ad2ant2r 779 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝑋)
52, 4syl5ss 3579 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑋)
6 reldisj 3972 . . . . . 6 ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
873anbi3d 1397 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆))))
9 sseqin2 3779 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
1110bicomd 212 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211necon3abid 2818 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
138, 12imbi12d 333 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
14132ralbidva 2971 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
151, 14bitrd 267 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  TopOnctopon 20518  Conccon 21024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-con 21025 This theorem is referenced by:  iuncon  21041  clscon  21043  reconn  22439  iunconlem2  38193
 Copyright terms: Public domain W3C validator