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Theorem reconn 21063
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem reconn
Dummy variables  b 
c  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 21061 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  A )
21ralrimivva 2880 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
32ex 434 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A ) )
4 n0 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( u  i^i  A
) )
5 n0 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) )
64, 5anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  i^i  A
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
7 eeanv 1952 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A )  /\  c  e.  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
8 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  A  C_  RR )
9 inss2 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
10 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  A )
128, 11sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  RR )
13 inss2 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  i^i  A )  C_  A
14 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
1513, 14sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  A )
168, 15sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  RR )
178adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A  C_  RR )
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
2310adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
2414adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
25 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  <_  c )
27 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 21062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
298adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A  C_  RR )
3020ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
3314adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
3410adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
35 incom 3686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
36 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
3735, 36syl5eqss 3543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( v  i^i  u
)  C_  ( RR  \  A ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  <_  b )
39 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 21062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( v  u.  u ) )
41 uncom 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
4241sseq2i 3524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  ( v  u.  u )  <->  A  C_  (
u  u.  v ) )
4340, 42sylnib 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4412, 16, 28, 43lecasei 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4544exp32 605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4645exlimdvv 1696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
477, 46syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( E. b 
b  e.  ( u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A ) )  ->  ( (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
)  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
486, 47syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4948expd 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  ->  (
( v  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) ) )
50493impd 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) )
5150ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A  ->  ( ( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
5251ralrimdvva 2883 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
53 retopon 21000 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
54 connsub 19683 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5553, 54mpan 670 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5652, 55sylibrd 234 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
)
573, 56impbid 191 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   class class class wbr 4442   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   supcsup 7891   RRcr 9482    < clt 9619    <_ cle 9620   (,)cioo 11520   [,]cicc 11523   ↾t crest 14667   topGenctg 14684  TopOnctopon 19157   Conccon 19673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cld 19281  df-con 19674
This theorem is referenced by:  retopcon  21064  iccconn  21065  rescon  28319  iooscon  28320  iccllyscon  28323  ivthALT  29719
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