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Theorem reconn 21502
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem reconn
Dummy variables  b 
c  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 21500 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  A )
21ralrimivva 2875 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
32ex 432 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A ) )
4 n0 3793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( u  i^i  A
) )
5 n0 3793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) )
64, 5anbi12i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  i^i  A
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
7 eeanv 1993 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A )  /\  c  e.  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
8 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  A  C_  RR )
9 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
10 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  A )
128, 11sseldd 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  RR )
13 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  i^i  A )  C_  A
14 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
1513, 14sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  A )
168, 15sseldd 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  RR )
178adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A  C_  RR )
18 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
2310adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
2414adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
25 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
26 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  <_  c )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 21501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
298adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A  C_  RR )
3020ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3118ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
3314adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
3410adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
35 incom 3677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
36 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
3735, 36syl5eqss 3533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( v  i^i  u
)  C_  ( RR  \  A ) )
38 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  <_  b )
39 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 21501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( v  u.  u ) )
41 uncom 3634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
4241sseq2i 3514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  ( v  u.  u )  <->  A  C_  (
u  u.  v ) )
4340, 42sylnib 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4412, 16, 28, 43lecasei 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4544exp32 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4645exlimdvv 1730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
477, 46syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( E. b 
b  e.  ( u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A ) )  ->  ( (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
)  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
486, 47syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4948expd 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  ->  (
( v  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) ) )
50493impd 1208 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) )
5150ex 432 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A  ->  ( ( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
5251ralrimdvva 2878 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
53 retopon 21439 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
54 connsub 20091 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5553, 54mpan 668 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5652, 55sylibrd 234 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
)
573, 56impbid 191 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ↾t crest 14913   topGenctg 14930  TopOnctopon 19565   Conccon 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cld 19690  df-con 20082
This theorem is referenced by:  retopcon  21503  iccconn  21504  rescon  28958  iooscon  28959  iccllyscon  28962  ivthALT  30396
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