Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit0 18879
 Description: Splitting for structure powers, part 0: restriction is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit0 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit0
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 pwssplit1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3pwselbasb 15971 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋) → (𝑥𝐵𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
543adant3 1074 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥𝐵𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
65biimpa 500 . . . 4 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊))
7 simpl3 1059 . . . 4 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑉𝑈)
86, 7fssresd 5984 . . 3 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊))
9 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊𝑇)
10 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
11 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
1210, 11ssexd 4733 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
13 pwssplit1.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
14 pwssplit1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑍)
1513, 2, 14pwselbasb 15971 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
169, 12, 15syl2anc 691 . . . 4 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1716adantr 480 . . 3 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
188, 17mpbird 246 . 2 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ 𝐶)
19 pwssplit1.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
2018, 19fmptd 6292 1 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↑s cpws 15930 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-pws 15933 This theorem is referenced by:  pwssplit1  18880  pwssplit2  18881  pwssplit3  18882
 Copyright terms: Public domain W3C validator