Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssplit0 Unicode version

Theorem pwssplit0 26353
Description: Splitting for structure powers, part 0: restriction is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y  |-  Y  =  ( W  ^s  U )
pwssplit1.z  |-  Z  =  ( W  ^s  V )
pwssplit1.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwssplit1.c  |-  C  =  ( Base `  Z
)
pwssplit1.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  V ) )
Assertion
Ref Expression
pwssplit0  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  F : B --> C )
Distinct variable groups:    x, Y    x, W    x, U    x, Z    x, V    x, B    x, C    x, X    x, T
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem pwssplit0
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( W  ^s  U )
2 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 pwssplit1.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
41, 2, 3pwselbasb 13261 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X )  ->  ( x  e.  B  <->  x : U --> ( Base `  W ) ) )
543adant3 980 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  -> 
( x  e.  B  <->  x : U --> ( Base `  W ) ) )
65biimpa 472 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  x : U
--> ( Base `  W
) )
7 simpl3 965 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  V  C_  U
)
8 fssres 5265 . . . 4  |-  ( ( x : U --> ( Base `  W )  /\  V  C_  U )  ->  (
x  |`  V ) : V --> ( Base `  W
) )
96, 7, 8syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W )
)
10 simp1 960 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  W  e.  T )
11 simp3 962 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  V  C_  U )
12 simp2 961 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  U  e.  X )
13 ssexg 4057 . . . . . 6  |-  ( ( V  C_  U  /\  U  e.  X )  ->  V  e.  _V )
1411, 12, 13syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  V  e.  _V )
15 pwssplit1.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( W  ^s  V )
16 pwssplit1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( Base `  Z
)
1715, 2, 16pwselbasb 13261 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  T  /\  V  e.  _V )  ->  ( ( x  |`  V )  e.  C  <->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W
) ) )
1810, 14, 17syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  -> 
( ( x  |`  V )  e.  C  <->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W
) ) )
1918adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
x  |`  V )  e.  C  <->  ( x  |`  V ) : V --> ( Base `  W )
) )
209, 19mpbird 225 . 2  |-  ( ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  |`  V )  e.  C
)
21 pwssplit1.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( x  |`  V ) )
2220, 21fmptd 5536 1  |-  ( ( W  e.  T  /\  U  e.  X  /\  V  C_  U )  ->  F : B --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    C_ wss 3078    e. cmpt 3974    |` cres 4582   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022    ^s cpws 13221
This theorem is referenced by:  pwssplit1  26354  pwssplit2  26355  pwssplit3  26356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-prds 13222  df-pws 13224
  Copyright terms: Public domain W3C validator