Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrge1 36452
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 36429 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ∈ ℝ)
3 simplrl 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
43nn0red 11229 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℝ)
5 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
65ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ0)
87nn0red 11229 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
97nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝐷)
108, 9resqrtcld 14004 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
11 simplrr 797 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℕ0)
1211nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ)
144, 13readdcld 9948 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℝ)
15 2nn0 11186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 2 ∈ ℕ0)
1711, 16nn0expcld 12893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑏↑2) ∈ ℕ0)
187, 17nn0mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℕ0)
1918nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (𝐷 · (𝑏↑2)))
2018nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℝ)
212, 20addge02d 10495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (0 ≤ (𝐷 · (𝑏↑2)) ↔ 1 ≤ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1)))
2219, 21mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1))
23 sq1 12820 . . . . . . . . . . . 12 (1↑2) = 1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1↑2) = 1)
25 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
2625ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2726sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
285ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2928nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
30 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℂ)
3130ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
3231sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
3329, 32mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℂ)
34 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
3527, 33, 34subaddd 10289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1) = (𝑎↑2)))
3635biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1) = (𝑎↑2))
3736eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎↑2) = ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1))
3822, 24, 373brtr4d 4615 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1↑2) ≤ (𝑎↑2))
39 0le1 10430 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 1)
413nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑎)
422, 4, 40, 41le2sqd 12906 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1↑2) ≤ (𝑎↑2)))
4338, 42mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝑎)
448, 9sqrtge0d 14007 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (√‘𝐷))
4511nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑏)
4610, 12, 44, 45mulge0d 10483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑏))
474, 13addge01d 10494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (0 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑏) ↔ 𝑎 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
4846, 47mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
492, 4, 14, 43, 48letrd 10073 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
5049adantrl 748 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
51 simprl 790 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
5250, 51breqtrrd 4611 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐴)
5352ex 449 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝐴))
5453rexlimdvva 3020 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝐴))
5554expimpd 627 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐴))
561, 55sylbid 229 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → 1 ≤ 𝐴))
5756imp 444 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  cdif 3537   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cexp 12722  csqrt 13821  NNcsquarenn 36418  Pell1QRcpell1qr 36419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-pell1qr 36424
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  36454
  Copyright terms: Public domain W3C validator