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Theorem pell1qrge1 31045
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 31022 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 1red 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  e.  RR )
3 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  NN0 )
43nn0red 10849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
5 eldifi 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
65ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
76nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
87nn0red 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
97nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
108, 9resqrtcld 13331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
11 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  NN0 )
1211nn0red 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
1310, 12remulcld 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( sqr `  D )  x.  b )  e.  RR )
144, 13readdcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
15 2nn0 10808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  2  e.  NN0 )
1711, 16nn0expcld 12314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( b ^ 2 )  e. 
NN0 )
187, 17nn0mulcld 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  NN0 )
1918nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2018nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
212, 20addge02d 10137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) )
23 sq1 12244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
25 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
2625ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  a  e.  CC )
2726sqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( a ^
2 )  e.  CC )
285ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  NN )
2928nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  CC )
30 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
3130ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  b  e.  CC )
3231sqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( b ^
2 )  e.  CC )
3329, 32mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  CC )
34 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  1  e.  CC )
3527, 33, 34subaddd 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( ( D  x.  ( b ^
2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) ) )
3635biimpa 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) )
3736eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a ^ 2 )  =  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 ) )
3822, 24, 373brtr4d 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) )
39 0le1 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  1 )
413nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
422, 4, 40, 41le2sqd 12327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1  <_  a  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) ) )
4338, 42mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  a )
448, 9sqrtge0d 13334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( sqr `  D ) )
4511nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  b )
4610, 12, 44, 45mulge0d 10125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
474, 13addge01d 10136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( ( sqr `  D )  x.  b
)  <->  a  <_  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) ) )
4846, 47mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
492, 4, 14, 43, 48letrd 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
5049adantrl 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
51 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
5250, 51breqtrrd 4465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
5352ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5453rexlimdvva 2953 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5554expimpd 601 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
)
561, 55sylbid 215 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  ->  1  <_  A ) )
5756imp 427 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    \ cdif 3458   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148  ◻NNcsquarenn 31011  Pell1QRcpell1qr 31012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-pell1qr 31017
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  31047
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