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Theorem pell1qrge1 30637
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 30614 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 1re 9596 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  e.  RR )
4 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  NN0 )
54nn0red 10854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
6 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
76ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
87nnnn0d 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
98nn0red 10854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
108nn0ge0d 10856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
119, 10resqrtcld 13215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
12 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  NN0 )
1312nn0red 10854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
1411, 13remulcld 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( sqr `  D )  x.  b )  e.  RR )
155, 14readdcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
16 2nn0 10813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  2  e.  NN0 )
1812, 17nn0expcld 12301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( b ^ 2 )  e. 
NN0 )
198, 18nn0mulcld 10858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  NN0 )
2019nn0ge0d 10856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2119nn0red 10854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
223, 21addge02d 10142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) ) )
2320, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) )
24 sq1 12231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
26 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  a  e.  CC )
2827sqcld 12277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( a ^
2 )  e.  CC )
296ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  NN )
3029nncnd 10553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  CC )
31 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  b  e.  CC )
3332sqcld 12277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( b ^
2 )  e.  CC )
3430, 33mulcld 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  CC )
35 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  1  e.  CC )
3728, 34, 36subaddd 9949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( ( D  x.  ( b ^
2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) ) )
3837biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) )
3938eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a ^ 2 )  =  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 ) )
4023, 25, 393brtr4d 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) )
41 0le1 10077 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  1 )
434nn0ge0d 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
443, 5, 42, 43le2sqd 12314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1  <_  a  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) ) )
4540, 44mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  a )
469, 10sqrtge0d 13218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( sqr `  D ) )
4712nn0ge0d 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  b )
4811, 13, 46, 47mulge0d 10130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
495, 14addge01d 10141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( ( sqr `  D )  x.  b
)  <->  a  <_  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) ) )
5048, 49mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
513, 5, 15, 45, 50letrd 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
5251adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
53 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
5452, 53breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
5554ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5655rexlimdvva 2962 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5756expimpd 603 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
)
581, 57sylbid 215 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  ->  1  <_  A ) )
5958imp 429 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    \ cdif 3473   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    <_ cle 9630    - cmin 9806   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796   ^cexp 12135   sqrcsqrt 13032  ◻NNcsquarenn 30603  Pell1QRcpell1qr 30604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-pell1qr 30609
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  30639
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