Theorem pell1qr1 36453

Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1qr1	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1qr1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9934	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2		1nn0 11185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℕ0)
4		0nn0 11184	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ∈ ℕ0)
6		eldifi 3694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 10913	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 14024	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
9	8	mul01d 10114	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘𝐷) · 0) = 0)
10	9	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 + ((√‘𝐷) · 0)) = (1 + 0))
11		1p0e1 11010	. . . 4 ⊢ (1 + 0) = 1
12	10, 11	syl6req 2661	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
13		sq1 12820	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1↑2) = 1)
15		sq0 12817	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
16	15	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 · (0↑2)) = (𝐷 · 0)
17	7	mul01d 10114	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · 0) = 0)
18	16, 17	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 · (0↑2)) = 0)
19	14, 18	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = (1 − 0))
20		1m0e1 11008	. . . 4 ⊢ (1 − 0) = 1
21	19, 20	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)
22		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
23	22	eqeq2d 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
24		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎↑2) = (1↑2))
25	24	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
26	25	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
27	23, 26	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
28		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 0))
29	28	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 0 → (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (1 + ((√‘𝐷) · 0)))
30	29	eqeq2d 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0))))
31		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏↑2) = (0↑2))
32	31	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (0↑2)))
33	32	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 0 → ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))))
34	33	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1))
35	30, 34	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → ((1 = (1 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)))
36	27, 35	rspc2ev 3295	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (1 = (1 + ((√‘𝐷) · 0)) ∧ ((1↑2) − (𝐷 · (0↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
37	3, 5, 12, 21, 36	syl112anc 1322	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
38		elpell1qr 36429	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (1 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
39	1, 37, 38	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ◻_NNcsquarenn 36418  Pell1QRcpell1qr 36419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-pell1qr 36424

This theorem is referenced by:  elpell1qr2  36454