Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth1 25122
 Description: - Lemma for ostth 25128: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If 𝐹 is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 18652 of the absolute value, 𝐹 is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 25116 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth1.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth1.3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
Assertion
Ref Expression
ostth1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑞,𝜑   𝐴,𝑛,𝑞,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostth.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
41qdrng 25109 . . 3 𝑄 ∈ DivRing
51qrngbas 25108 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
61qrng0 25110 . . . 4 0 = (0g𝑄)
7 ostth.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
82, 5, 6, 7abvtriv 18664 . . 3 (𝑄 ∈ DivRing → 𝐾𝐴)
94, 8mp1i 13 . 2 (𝜑𝐾𝐴)
10 ostth1.3 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ ¬ (𝐹𝑛) < 1)
1110r19.21bi 2916 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ (𝐹𝑛) < 1)
12 prmnn 15226 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
13 ostth1.2 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1413r19.21bi 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
1512, 14sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 1 < (𝐹𝑛))
16 nnq 11677 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℚ)
182, 5abvcl 18647 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
193, 17, 18syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
20 1re 9918 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 lttri3 10000 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2219, 20, 21sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑛) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑛) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑛))))
2311, 15, 22mpbir2and 959 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = 1)
2412adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
2625ifbid 4058 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
27 c0ex 9913 . . . . . . . 8 0 ∈ V
28 1ex 9914 . . . . . . . 8 1 ∈ V
2927, 28ifex 4106 . . . . . . 7 if(𝑛 = 0, 0, 1) ∈ V
3026, 7, 29fvmpt 6191 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℚ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
3116, 30syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = if(𝑛 = 0, 0, 1))
32 nnne0 10930 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3332neneqd 2787 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
3433iffalsed 4047 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 = 0, 0, 1) = 1)
3531, 34eqtrd 2644 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐾𝑛) = 1)
3624, 35syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐾𝑛) = 1)
3723, 36eqtr4d 2647 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝐹𝑛) = (𝐾𝑛))
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 25117 1 (𝜑𝐹 = 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℚcq 11664  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379   ↾s cress 15696  DivRingcdr 18570  AbsValcabv 18639  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  ostth  25128
 Copyright terms: Public domain W3C validator