Theorem ostth1 23014

Description: - Lemma for ostth 23020: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If F is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 17036 of the absolute value, F is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 23008 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth1.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth1.3	|- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
ostth1	|- ( ph -> F = K )

Distinct variable groups:   n, K   x, n, q, ph   A, n, q, x   Q, n, x   n, F, q, x

Allowed substitution hints:   Q( q)   J( x, n, q)   K( x, q)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
2		qabsabv.a	. 2 |- A = (AbsVal ` Q )
3		ostth.1	. 2 |- ( ph -> F e. A )
4	1	qdrng 23001	. . 3 |- Q e. DivRing
5	1	qrngbas 23000	. . . 4 |- QQ = ( Base ` Q )
6	1	qrng0 23002	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` Q )
7		ostth.k	. . . 4 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 17048	. . 3 |- ( Q e. DivRing -> K e. A )
9	4, 8	mp1i 12	. 2 |- ( ph -> K e. A )
10		ostth1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )
11	10	r19.21bi 2918	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. ( F ` n ) < 1 )
12		prmnn 13883	. . . . 5 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
13		ostth1.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
14	13	r19.21bi 2918	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
15	12, 14	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
16		nnq 11076	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
17	12, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( n e. Prime -> n e. QQ )
18	2, 5	abvcl 17031	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
19	3, 17, 18	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) e. RR )
20		1re 9495	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		lttri3 9568	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
22	19, 20, 21	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
23	11, 15, 22	mpbir2and 913	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = 1 )
24	12	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
25		eqeq1 2458	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x = 0 <-> n = 0 ) )
26	25	ifbid 3918	. . . . . . 7 |- ( x = n -> if ( x = 0 , 0 , 1 ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
27		c0ex 9490	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
28		1ex 9491	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
29	27, 28	ifex 3965	. . . . . . 7 |- if ( n = 0 , 0 , 1 ) e. _V
30	26, 7, 29	fvmpt 5882	. . . . . 6 |- ( n e. QQ -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
31	16, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
32		nnne0 10464	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
33	32	neneqd 2654	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> -. n = 0 )
34		iffalse 3906	. . . . . 6 |- ( -. n = 0 -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
35	33, 34	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
36	31, 35	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = 1 )
37	24, 36	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( K ` n ) = 1 )
38	23, 37	eqtr4d 2498	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = ( K ` n ) )
39	1, 2, 3, 9, 38	ostthlem2 23009	1 |- ( ph -> F = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2798   ifcif 3898   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   < clt 9528   -ucneg 9706   NNcn 10432   QQcq 11063   ^cexp 11981   Primecprime 13880   pCnt cpc 14020   ↾_s cress 14292   DivRingcdr 16954  AbsValcabv 17023  ℂ_fldccnfld 17942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-addf 9471  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-ico 11416  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982  df-dvds 13653  df-prm 13881  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-subg 15796  df-cmn 16399  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-abv 17024  df-cnfld 17943

This theorem is referenced by:  ostth  23020