Theorem ostth1 22857

Description: - Lemma for ostth 22863: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If F is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 16892 of the absolute value, F is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 22851 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth1.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth1.3	|- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
ostth1	|- ( ph -> F = K )

Distinct variable groups:   n, K   x, n, q, ph   A, n, q, x   Q, n, x   n, F, q, x

Allowed substitution hints:   Q( q)   J( x, n, q)   K( x, q)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
2		qabsabv.a	. 2 |- A = (AbsVal ` Q )
3		ostth.1	. 2 |- ( ph -> F e. A )
4	1	qdrng 22844	. . 3 |- Q e. DivRing
5	1	qrngbas 22843	. . . 4 |- QQ = ( Base ` Q )
6	1	qrng0 22845	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` Q )
7		ostth.k	. . . 4 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 16904	. . 3 |- ( Q e. DivRing -> K e. A )
9	4, 8	mp1i 12	. 2 |- ( ph -> K e. A )
10		ostth1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )
11	10	r19.21bi 2809	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. ( F ` n ) < 1 )
12		prmnn 13758	. . . . 5 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
13		ostth1.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
14	13	r19.21bi 2809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
15	12, 14	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
16		nnq 10958	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
17	12, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( n e. Prime -> n e. QQ )
18	2, 5	abvcl 16887	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
19	3, 17, 18	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) e. RR )
20		1re 9377	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		lttri3 9450	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
22	19, 20, 21	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
23	11, 15, 22	mpbir2and 913	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = 1 )
24	12	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
25		eqeq1 2444	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x = 0 <-> n = 0 ) )
26	25	ifbid 3806	. . . . . . 7 |- ( x = n -> if ( x = 0 , 0 , 1 ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
27		c0ex 9372	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
28		1ex 9373	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
29	27, 28	ifex 3853	. . . . . . 7 |- if ( n = 0 , 0 , 1 ) e. _V
30	26, 7, 29	fvmpt 5769	. . . . . 6 |- ( n e. QQ -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
31	16, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
32		nnne0 10346	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
33	32	neneqd 2619	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> -. n = 0 )
34		iffalse 3794	. . . . . 6 |- ( -. n = 0 -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
35	33, 34	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
36	31, 35	eqtrd 2470	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = 1 )
37	24, 36	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( K ` n ) = 1 )
38	23, 37	eqtr4d 2473	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = ( K ` n ) )
39	1, 2, 3, 9, 38	ostthlem2 22852	1 |- ( ph -> F = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   ifcif 3786   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   < clt 9410   -ucneg 9588   NNcn 10314   QQcq 10945   ^cexp 11857   Primecprime 13755   pCnt cpc 13895   ↾_s cress 14167   DivRingcdr 16810  AbsValcabv 16879  ℂ_fldccnfld 17793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-ico 11298  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-dvds 13528  df-prm 13756  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-subg 15669  df-cmn 16270  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-drng 16812  df-subrg 16841  df-abv 16880  df-cnfld 17794

This theorem is referenced by:  ostth  22863