Theorem ostth1 22767

Description: - Lemma for ostth 22773: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If F is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 16838 of the absolute value, F is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 22761 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth1.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth1.3	|- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
ostth1	|- ( ph -> F = K )

Distinct variable groups:   n, K   x, n, q, ph   A, n, q, x   Q, n, x   n, F, q, x

Allowed substitution hints:   Q( q)   J( x, n, q)   K( x, q)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
2		qabsabv.a	. 2 |- A = (AbsVal ` Q )
3		ostth.1	. 2 |- ( ph -> F e. A )
4	1	qdrng 22754	. . 3 |- Q e. DivRing
5	1	qrngbas 22753	. . . 4 |- QQ = ( Base ` Q )
6	1	qrng0 22755	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` Q )
7		ostth.k	. . . 4 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 16850	. . 3 |- ( Q e. DivRing -> K e. A )
9	4, 8	mp1i 12	. 2 |- ( ph -> K e. A )
10		ostth1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )
11	10	r19.21bi 2804	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. ( F ` n ) < 1 )
12		prmnn 13749	. . . . 5 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
13		ostth1.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
14	13	r19.21bi 2804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
15	12, 14	sylan2 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
16		nnq 10954	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
17	12, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( n e. Prime -> n e. QQ )
18	2, 5	abvcl 16833	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
19	3, 17, 18	syl2an 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) e. RR )
20		1re 9373	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		lttri3 9446	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
22	19, 20, 21	sylancl 655	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
23	11, 15, 22	mpbir2and 906	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = 1 )
24	12	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
25		eqeq1 2439	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x = 0 <-> n = 0 ) )
26	25	ifbid 3799	. . . . . . 7 |- ( x = n -> if ( x = 0 , 0 , 1 ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
27		c0ex 9368	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
28		1ex 9369	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
29	27, 28	ifex 3846	. . . . . . 7 |- if ( n = 0 , 0 , 1 ) e. _V
30	26, 7, 29	fvmpt 5762	. . . . . 6 |- ( n e. QQ -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
31	16, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
32		nnne0 10342	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
33	32	neneqd 2614	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> -. n = 0 )
34		iffalse 3787	. . . . . 6 |- ( -. n = 0 -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
35	33, 34	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
36	31, 35	eqtrd 2465	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = 1 )
37	24, 36	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( K ` n ) = 1 )
38	23, 37	eqtr4d 2468	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = ( K ` n ) )
39	1, 2, 3, 9, 38	ostthlem2 22762	1 |- ( ph -> F = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   ifcif 3779   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   < clt 9406   -ucneg 9584   NNcn 10310   QQcq 10941   ^cexp 11849   Primecprime 13746   pCnt cpc 13886   ↾_s cress 14158   DivRingcdr 16756  AbsValcabv 16825  ℂ_fldccnfld 17662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-addf 9349  ax-mulf 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-dvds 13519  df-prm 13747  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-subg 15658  df-cmn 16259  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-drng 16758  df-subrg 16787  df-abv 16826  df-cnfld 17663

This theorem is referenced by:  ostth  22773