Theorem ostth1 24550

Description: - Lemma for ostth 24556: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If F is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 18135 of the absolute value, F is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 24544 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth1.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth1.3	|- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
ostth1	|- ( ph -> F = K )

Distinct variable groups:   n, K   x, n, q, ph   A, n, q, x   Q, n, x   n, F, q, x

Allowed substitution hints:   Q( q)   J( x, n, q)   K( x, q)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
2		qabsabv.a	. 2 |- A = (AbsVal ` Q )
3		ostth.1	. 2 |- ( ph -> F e. A )
4	1	qdrng 24537	. . 3 |- Q e. DivRing
5	1	qrngbas 24536	. . . 4 |- QQ = ( Base ` Q )
6	1	qrng0 24538	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` Q )
7		ostth.k	. . . 4 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 18147	. . 3 |- ( Q e. DivRing -> K e. A )
9	4, 8	mp1i 13	. 2 |- ( ph -> K e. A )
10		ostth1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )
11	10	r19.21bi 2776	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. ( F ` n ) < 1 )
12		prmnn 14704	. . . . 5 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
13		ostth1.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
14	13	r19.21bi 2776	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
15	12, 14	sylan2 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
16		nnq 11300	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( n e. Prime -> n e. QQ )
18	2, 5	abvcl 18130	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
19	3, 17, 18	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) e. RR )
20		1re 9660	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		lttri3 9735	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
22	19, 20, 21	sylancl 675	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
23	11, 15, 22	mpbir2and 936	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = 1 )
24	12	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
25		eqeq1 2475	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x = 0 <-> n = 0 ) )
26	25	ifbid 3894	. . . . . . 7 |- ( x = n -> if ( x = 0 , 0 , 1 ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
27		c0ex 9655	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
28		1ex 9656	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
29	27, 28	ifex 3940	. . . . . . 7 |- if ( n = 0 , 0 , 1 ) e. _V
30	26, 7, 29	fvmpt 5963	. . . . . 6 |- ( n e. QQ -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
31	16, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
32		nnne0 10664	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
33	32	neneqd 2648	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> -. n = 0 )
34	33	iffalsed 3883	. . . . 5 |- ( n e. NN -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
35	31, 34	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = 1 )
36	24, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( K ` n ) = 1 )
37	23, 36	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = ( K ` n ) )
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 24545	1 |- ( ph -> F = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   < clt 9693   -ucneg 9881   NNcn 10631   QQcq 11287   ^cexp 12310   Primecprime 14701   pCnt cpc 14865   ↾_s cress 15200   DivRingcdr 18053  AbsValcabv 18122  ℂ_fldccnfld 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-cnfld 19048

This theorem is referenced by:  ostth  24556