MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ostth1 24550
Description: - Lemma for ostth 24556: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If  F is equal to  1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 18135 of the absolute value,  F is equal to  1 on all the integers, and ostthlem1 24544 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth1.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
ostth1.3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  -.  ( F `  n
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
ostth1  |-  ( ph  ->  F  =  K )
Distinct variable groups:    n, K    x, n, q, ph    A, n, q, x    Q, n, x    n, F, q, x
Allowed substitution hints:    Q( q)    J( x, n, q)    K( x, q)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2  |-  Q  =  (flds  QQ )
2 qabsabv.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 ostth.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
41qdrng 24537 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
51qrngbas 24536 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
61qrng0 24538 . . . 4  |-  0  =  ( 0g `  Q )
7 ostth.k . . . 4  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
82, 5, 6, 7abvtriv 18147 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  K  e.  A
)
94, 8mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
10 ostth1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  -.  ( F `  n
)  <  1 )
1110r19.21bi 2776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  ( F `  n )  <  1 )
12 prmnn 14704 . . . . 5  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
13 ostth1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
1413r19.21bi 2776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  1  <  ( F `  n
) )
1512, 14sylan2 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  1  <  ( F `  n
) )
16 nnq 11300 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1712, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  QQ )
182, 5abvcl 18130 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
193, 17, 18syl2an 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
20 1re 9660 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 lttri3 9735 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( F `  n )  =  1  <-> 
( -.  ( F `
 n )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  n
) ) ) )
2219, 20, 21sylancl 675 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( F `  n )  =  1  <->  ( -.  ( F `  n )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  n ) ) ) )
2311, 15, 22mpbir2and 936 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  =  1 )
2412adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
25 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
x  =  0  <->  n  =  0 ) )
2625ifbid 3894 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
27 c0ex 9655 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
28 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
2927, 28ifex 3940 . . . . . . 7  |-  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  e.  _V
3026, 7, 29fvmpt 5963 . . . . . 6  |-  ( n  e.  QQ  ->  ( K `  n )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
3116, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  ( K `  n )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
32 nnne0 10664 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3332neneqd 2648 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  -.  n  =  0 )
3433iffalsed 3883 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  =  1 )
3531, 34eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  ( K `  n )  =  1 )
3624, 35syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( K `  n )  =  1 )
3723, 36eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  =  ( K `  n ) )
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 24545 1  |-  ( ph  ->  F  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    < clt 9693   -ucneg 9881   NNcn 10631   QQcq 11287   ^cexp 12310   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865   ↾s cress 15200   DivRingcdr 18053  AbsValcabv 18122  ℂfldccnfld 19047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-cnfld 19048
This theorem is referenced by:  ostth  24556
  Copyright terms: Public domain W3C validator