Theorem ostth1 24019

Description: - Lemma for ostth 24025: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If F is equal to 1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 17676 of the absolute value, F is equal to 1 on all the integers, and ostthlem1 24013 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth1.2	|- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
ostth1.3	|- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
ostth1	|- ( ph -> F = K )

Distinct variable groups:   n, K   x, n, q, ph   A, n, q, x   Q, n, x   n, F, q, x

Allowed substitution hints:   Q( q)   J( x, n, q)   K( x, q)

Proof of Theorem ostth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. 2 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
2		qabsabv.a	. 2 |- A = (AbsVal ` Q )
3		ostth.1	. 2 |- ( ph -> F e. A )
4	1	qdrng 24006	. . 3 |- Q e. DivRing
5	1	qrngbas 24005	. . . 4 |- QQ = ( Base ` Q )
6	1	qrng0 24007	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` Q )
7		ostth.k	. . . 4 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
8	2, 5, 6, 7	abvtriv 17688	. . 3 |- ( Q e. DivRing -> K e. A )
9	4, 8	mp1i 12	. 2 |- ( ph -> K e. A )
10		ostth1.3	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Prime -. ( F ` n ) < 1 )
11	10	r19.21bi 2823	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. ( F ` n ) < 1 )
12		prmnn 14307	. . . . 5 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
13		ostth1.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
14	13	r19.21bi 2823	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
15	12, 14	sylan2 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> -. 1 < ( F ` n ) )
16		nnq 11196	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. QQ )
17	12, 16	syl 16	. . . . . 6 |- ( n e. Prime -> n e. QQ )
18	2, 5	abvcl 17671	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
19	3, 17, 18	syl2an 475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) e. RR )
20		1re 9584	. . . . 5 |- 1 e. RR
21		lttri3 9657	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
22	19, 20, 21	sylancl 660	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( ( F ` n ) = 1 <-> ( -. ( F ` n ) < 1 /\ -. 1 < ( F ` n ) ) ) )
23	11, 15, 22	mpbir2and 920	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = 1 )
24	12	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> n e. NN )
25		eqeq1 2458	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x = 0 <-> n = 0 ) )
26	25	ifbid 3951	. . . . . . 7 |- ( x = n -> if ( x = 0 , 0 , 1 ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
27		c0ex 9579	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
28		1ex 9580	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
29	27, 28	ifex 3997	. . . . . . 7 |- if ( n = 0 , 0 , 1 ) e. _V
30	26, 7, 29	fvmpt 5931	. . . . . 6 |- ( n e. QQ -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
31	16, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = if ( n = 0 , 0 , 1 ) )
32		nnne0 10564	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n =/= 0 )
33	32	neneqd 2656	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> -. n = 0 )
34	33	iffalsed 3940	. . . . 5 |- ( n e. NN -> if ( n = 0 , 0 , 1 ) = 1 )
35	31, 34	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( K ` n ) = 1 )
36	24, 35	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( K ` n ) = 1 )
37	23, 36	eqtr4d 2498	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( F ` n ) = ( K ` n ) )
38	1, 2, 3, 9, 37	ostthlem2 24014	1 |- ( ph -> F = K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   ifcif 3929   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   < clt 9617   -ucneg 9797   NNcn 10531   QQcq 11183   ^cexp 12151   Primecprime 14304   pCnt cpc 14447   ↾_s cress 14720   DivRingcdr 17594  AbsValcabv 17663  ℂ_fldccnfld 18618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-seq 12093  df-exp 12152  df-dvds 14074  df-prm 14305  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-subrg 17625  df-abv 17664  df-cnfld 18619

This theorem is referenced by:  ostth  24025