Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ostth1 24550
 Description: - Lemma for ostth 24556: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If is equal to on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 18135 of the absolute value, is equal to on all the integers, and ostthlem1 24544 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
ostth.k
ostth.1
ostth1.2
ostth1.3
Assertion
Ref Expression
ostth1
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 flds
2 qabsabv.a . 2 AbsVal
3 ostth.1 . 2
41qdrng 24537 . . 3
51qrngbas 24536 . . . 4
61qrng0 24538 . . . 4
7 ostth.k . . . 4
82, 5, 6, 7abvtriv 18147 . . 3
94, 8mp1i 13 . 2
10 ostth1.3 . . . . 5
1110r19.21bi 2776 . . . 4
12 prmnn 14704 . . . . 5
13 ostth1.2 . . . . . 6
1413r19.21bi 2776 . . . . 5
1512, 14sylan2 482 . . . 4
16 nnq 11300 . . . . . . 7
1712, 16syl 17 . . . . . 6
182, 5abvcl 18130 . . . . . 6
193, 17, 18syl2an 485 . . . . 5
20 1re 9660 . . . . 5
21 lttri3 9735 . . . . 5
2219, 20, 21sylancl 675 . . . 4
2311, 15, 22mpbir2and 936 . . 3
2412adantl 473 . . . 4
25 eqeq1 2475 . . . . . . . 8
2625ifbid 3894 . . . . . . 7
27 c0ex 9655 . . . . . . . 8
28 1ex 9656 . . . . . . . 8
2927, 28ifex 3940 . . . . . . 7
3026, 7, 29fvmpt 5963 . . . . . 6
3116, 30syl 17 . . . . 5
32 nnne0 10664 . . . . . . 7
3332neneqd 2648 . . . . . 6
3433iffalsed 3883 . . . . 5
3531, 34eqtrd 2505 . . . 4
3624, 35syl 17 . . 3
3723, 36eqtr4d 2508 . 2
381, 2, 3, 9, 37ostthlem2 24545 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   clt 9693  cneg 9881  cn 10631  cq 11287  cexp 12310  cprime 14701   cpc 14865   ↾s cress 15200  cdr 18053  AbsValcabv 18122  ℂfldccnfld 19047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-cnfld 19048 This theorem is referenced by:  ostth  24556
 Copyright terms: Public domain W3C validator