MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Structured version   Unicode version

Theorem ostth1 23014
Description: - Lemma for ostth 23020: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If  F is equal to  1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 17036 of the absolute value,  F is equal to  1 on all the integers, and ostthlem1 23008 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth1.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
ostth1.3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  -.  ( F `  n
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
ostth1  |-  ( ph  ->  F  =  K )
Distinct variable groups:    n, K    x, n, q, ph    A, n, q, x    Q, n, x    n, F, q, x
Allowed substitution hints:    Q( q)    J( x, n, q)    K( x, q)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2  |-  Q  =  (flds  QQ )
2 qabsabv.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 ostth.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
41qdrng 23001 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
51qrngbas 23000 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
61qrng0 23002 . . . 4  |-  0  =  ( 0g `  Q )
7 ostth.k . . . 4  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
82, 5, 6, 7abvtriv 17048 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  K  e.  A
)
94, 8mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
10 ostth1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  -.  ( F `  n
)  <  1 )
1110r19.21bi 2918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  ( F `  n )  <  1 )
12 prmnn 13883 . . . . 5  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
13 ostth1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
1413r19.21bi 2918 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  1  <  ( F `  n
) )
1512, 14sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  1  <  ( F `  n
) )
16 nnq 11076 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1712, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  QQ )
182, 5abvcl 17031 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
193, 17, 18syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
20 1re 9495 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 lttri3 9568 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( F `  n )  =  1  <-> 
( -.  ( F `
 n )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  n
) ) ) )
2219, 20, 21sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( F `  n )  =  1  <->  ( -.  ( F `  n )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  n ) ) ) )
2311, 15, 22mpbir2and 913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  =  1 )
2412adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
25 eqeq1 2458 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
x  =  0  <->  n  =  0 ) )
2625ifbid 3918 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
27 c0ex 9490 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
28 1ex 9491 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
2927, 28ifex 3965 . . . . . . 7  |-  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  e.  _V
3026, 7, 29fvmpt 5882 . . . . . 6  |-  ( n  e.  QQ  ->  ( K `  n )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
3116, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  ( K `  n )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
32 nnne0 10464 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3332neneqd 2654 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  -.  n  =  0 )
34 iffalse 3906 . . . . . 6  |-  ( -.  n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  =  1 )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  =  1 )
3631, 35eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  ( K `  n )  =  1 )
3724, 36syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( K `  n )  =  1 )
3823, 37eqtr4d 2498 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  =  ( K `  n ) )
391, 2, 3, 9, 38ostthlem2 23009 1  |-  ( ph  ->  F  =  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   ifcif 3898   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    < clt 9528   -ucneg 9706   NNcn 10432   QQcq 11063   ^cexp 11981   Primecprime 13880    pCnt cpc 14020   ↾s cress 14292   DivRingcdr 16954  AbsValcabv 17023  ℂfldccnfld 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-ico 11416  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982  df-dvds 13653  df-prm 13881  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-subg 15796  df-cmn 16399  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-abv 17024  df-cnfld 17943
This theorem is referenced by:  ostth  23020
  Copyright terms: Public domain W3C validator