Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0cl 33489
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 27496 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0cl (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 16864 . 2 (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6 eqid 2610 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2op01dm 33488 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
87simprd 478 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
91, 2, 5, 8glbcl 16821 . 2 (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
104, 9eqeltrd 2688 1 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  dom cdm 5038  cfv 5804  Basecbs 15695  lubclub 16765  glbcglb 16766  0.cp0 16860  OPcops 33477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-glb 16798  df-p0 16862  df-oposet 33481
This theorem is referenced by:  ople0  33492  lub0N  33494  opltn0  33495  opoc1  33507  opoc0  33508  olj01  33530  olj02  33531  olm01  33541  olm02  33542  0ltat  33596  leatb  33597  hlhgt2  33693  hl0lt1N  33694  hl2at  33709  atcvr0eq  33730  lnnat  33731  atle  33740  athgt  33760  1cvratex  33777  ps-2  33782  dalemcea  33964  pmapeq0  34070  2atm2atN  34089  lhp0lt  34307  lhpn0  34308  ltrnatb  34441  ltrnmwOLD  34456  cdleme3c  34535  cdleme7e  34552  dia0eldmN  35347  dia2dimlem2  35372  dia2dimlem3  35373  dib0  35471  dih0  35587  dih0bN  35588  dih0rn  35591  dihlspsnssN  35639  dihlspsnat  35640  dihatexv  35645
  Copyright terms: Public domain W3C validator