Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhgt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhgt2 33693
 Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhgt4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlhgt2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhgt4.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlhgt4.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 hlhgt4.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 hlhgt4.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt4 33692 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )))
6 hlpos 33670 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
76ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 hlop 33667 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
101, 3op0cl 33489 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 0𝐵)
12 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
13 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑥𝐵)
141, 2plttr 16793 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑦𝐵𝑥𝐵)) → (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
157, 11, 12, 13, 14syl13anc 1320 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
171, 4op1cl 33490 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
189, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 1𝐵)
191, 2plttr 16793 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥𝐵𝑧𝐵1𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
207, 13, 16, 18, 19syl13anc 1320 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
2115, 20anim12d 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2221rexlimdva 3013 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2322reximdva 3000 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
2423rexlimdva 3013 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑦𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 1 )) → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 )))
255, 24mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Posetcpo 16763  ltcplt 16764  0.cp0 16860  1.cp1 16861  OPcops 33477  HLchlt 33655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656 This theorem is referenced by:  hl0lt1N  33694  hl2at  33709
 Copyright terms: Public domain W3C validator