Theorem hlpos 33670

Description: A Hilbert lattice is a poset. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hlpos	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem hlpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 33668	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		latpos 16873	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Posetcpo 16763  Latclat 16868  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lat 16869  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by:  hlhgt2  33693  hl0lt1N  33694  cvrval3  33717  cvrexchlem  33723  cvratlem  33725  cvrat  33726  atlelt  33742  2atlt  33743  athgt  33760  1cvratex  33777  ps-2  33782  llnnleat  33817  llncmp  33826  2llnmat  33828  lplnnle2at  33845  llncvrlpln  33862  lplncmp  33866  lvolnle3at  33886  lplncvrlvol  33920  lvolcmp  33921  pmaple  34065  2lnat  34088  2atm2atN  34089  lhp2lt  34305  lhp0lt  34307  dia2dimlem2  35372  dia2dimlem3  35373  dih1  35593