Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnatb 34441
 Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
2 ltrnatb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 ltrnatb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrnatb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrncl 34429 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
61, 52thd 254 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐵 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
7 simp1 1054 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simp2 1055 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐹𝑇)
9 simp1l 1078 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10 hlop 33667 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11 eqid 2610 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
122, 11op0cl 33489 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
139, 10, 123syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
14 eqid 2610 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
152, 14, 3, 4ltrncvr 34437 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵𝑃𝐵)) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1322 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
179, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
18 simp1r 1079 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐻)
192, 3lhpbase 34302 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → 𝑊𝐵)
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
222, 21, 11op0le 33491 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
2317, 20, 22syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)
242, 21, 3, 4ltrnval1 34438 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((0.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1322 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝐹‘(0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
2625breq1d 4593 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹‘(0.‘𝐾))( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃) ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
2716, 26bitrd 267 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃 ↔ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃)))
286, 27anbi12d 743 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
29 ltrnatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
302, 11, 14, 29isat 33591 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
319, 30syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)𝑃)))
322, 11, 14, 29isat 33591 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
339, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(𝐹𝑃))))
3428, 31, 333bitr4d 299 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐵) → (𝑃𝐴 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  0.cp0 16860  OPcops 33477   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-plt 16781  df-glb 16798  df-p0 16862  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409 This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  34442  ltrnel  34443  ltrnat  34444
 Copyright terms: Public domain W3C validator